Научный журнал
Научное обозрение. Фундаментальные и прикладные исследования

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НА ОСНОВЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Колодин А.В. 1
1
Тригонометрическая теория чисел позволяет определить точные значения тригонометрических функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса на основе натуральных чисел. Тригонометрическая теория чисел позволяет точно определить значения производных и интегралов (первообразных функций) тригонометрических функций. Дифференцирование и интегрирование тригонометрических функций на основе тригонометрической теории чисел выявили несоответствие общепринятых значений дифференциалов и интегралов их правильным (реальным) значениям. Волновая арифметика - новый раздел, новое направление в теории чисел. Волновая арифметика или волновая теория чисел или тригонометрическая теория чисел основана на соединении арифметики и тригонометрии. В отличие от теории чисел, разработанной Л.Эйлером, основанной на комплексных числах и натуральных логарифмах, волновая арифметика - точная дисциплина, которой и должна быть математика, чего нельзя сказать о действующей в настоящее время теории чисел, но и всей математике.
Волновая арифметика
тригонометрическая теория чисел
натуральные числа.
1. Выгодский М.Я. «Справочник по элементарной математике». Москва, 2001 г., 416 стр.. ISBN 5-7102-0190-1.
2. Мир математики: Т. 5: Клауди Альсина. «Секта чисел. Теорема Пифагора». Москва, 2014 г., 160 стр.. ISBN 978-5-9774-0633-8(т. 5).
3. Письменный Д.Т. «Конспект лекций по высшей математике: полный курс. Москва, Айрис-пресс, 2013, 608 стр.. ISBN 978-5-8112-4866-7.
4. Тобиас Данциг. «Числа – язык науки». Москва, Техносфера, 2008 г., 304 стр.. ISBN 978-5-94836-172-7.

Дифференцирование и интегрирование тригонометрических функций на основе тригонометрической теории чисел.

Введение. 

Не секрет, что высшая математика в большинстве своём имеет дело с приближенными вычислениями и позволяет производить и получать приближённые результаты в вычислениях с достаточной степенью точности.

Но какова эта достаточная степень точности?

Для ответа на этот вопрос, ответим сначала на другие два вопроса.

Вопрос 1: при каком значении числа N второй замечательный предел становится числом ?

Довольно простые расчёты позволяют определить величину числа N, оно будет равно:

N = 253 = 9007199254740990 = 9,0072E+15.

Вопрос 2: при каком значении угла x выполняется первый замечательный предел ?

Значение угла x° будет равно:

x° = 6,03709E-07 = 0,0000006037.

Таким образом, при числах N ≥ 9007199254740990 и углах x° ≤ 0,0000006037°, можно смело говорить, что высшая математика – точная наука. При других значениях чисел N и углах x° так сказать уже трудно и нельзя. Точная наука математика перестаёт быть точной наукой.

Данная работа направлена на преодоление такого мнения.

1. Основы тригонометрической теории чисел.

Рассмотрим спираль Феодора Киренского в прямоугольной (декартовой) системе координат.

Рисунок № 1. Спираль Феодора Киренского.

Гипотенузы прямоугольных треугольников, из которых состоит спираль, равны квадратному корню из натуральных чисел от единицы до бесконечности, один из катетов всегда равен единице, второй катет последующего треугольника всегда является гипотенузой предыдущего треугольника.

Спираль Феодора Киренского наглядно показывает существование иррациональных чисел, квадратами которых являются натуральные числа, и трансцендентных чисел- углов в треугольниках, которые можно построить, но невозможно точно вычислить.

Спираль Феодора Киренского даёт возможность создать новый раздел математики – новую теорию чисел, тригонометрическую теорию чисел или волновую арифметику на основе элементарной арифметики, элементарной алгебры, геометрии и тригонометрии.

Но вернёмся к нашему доказательству.

Рисунок № 2. Треугольник.

Рассмотрим какой-либо прямоугольный треугольник (рисунок № 2) из спирали Феодора Киренского.

Будем считать, что катет AB равен 1.

Катет 0A равен √N, где N – числа натурального ряда.

На основании теоремы Пифагора гипотенуза 0B равна √(N + 1).

Угол, лежащий напротив катета AB, назовём ν (ню).

Тогда тангенс угла ν равняется: tg ν = 1 / √N.

Синус угла ν равняется: sin ν = 1 / √(N + 1).

Косинус угла ν равняется: cos ν = √N / √(N + 1).

Если Ni – любое натуральное число, то на основании любого треугольника спирали Феодора Киренского получаются простые формулы – тригонометрические формулы чисел:

(1)

(2)

(3)

(4)

Формулы двойных углов:

(5)

(6)

(7)

Формулы половинных углов:

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

Угол ν (ню).

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

Таким образом, каждое натуральное число является квадратом котангенса угла ν, который в свою очередь равен арккотангенсу из квадратного корня данного числа.

Таблица 1. Чиcла N, тангенсы угла ν, угол ν°.

№№

N

√ N

1 / √ N

ν = arctg (1 / √ N)

ν°

           

1

1

1

1

0,785398163

45

2

2

1,414213562

0,707106781

0,615479709

35,26438968

3

3

1,732050808

0,577350269

0,523598776

30

4

4

2

0,5

0,463647609

26,56505118

5

5

2,236067977

0,447213595

0,420534335

24,09484255

6

6

2,449489743

0,40824829

0,387596687

22,2076543

7

7

2,645751311

0,377964473

0,361367124

20,70481105

8

8

2,828427125

0,353553391

0,339836909

19,47122063

9

9

3

0,333333333

0,321750554

18,43494882

10

10

3,16227766

0,316227766

0,306277369

17,54840061

11

11

3,31662479

0,301511345

0,292842772

16,77865488

12

12

3,464101615

0,288675135

0,281034902

16,10211375

13

13

3,605551275

0,277350098

0,270549763

15,50135957

14

14

3,741657387

0,267261242

0,261157411

14,96321743

15

15

3,872983346

0,25819889

0,252680255

14,47751219

16

16

4

0,25

0,244978663

14,03624347

17

17

4,123105626

0,242535625

0,237941125

13,63302223

18

18

4,242640687

0,23570226

0,231477364

13,26267601

19

19

4,358898944

0,229415734

0,225513406

12,92096638

20

20

4,472135955

0,223606798

0,219987977

12,60438265

21

21

4,582575695

0,21821789

0,214849833

12,30998866

22

22

4,69041576

0,213200716

0,210055739

12,03530731

23

23

4,795831523

0,208514414

0,205568931

11,77823215

24

24

4,898979486

0,204124145

0,201357921

11,53695903

25

25

5

0,2

0,19739556

11,30993247

26

26

5,099019514

0,196116135

0,1936583

11,09580328

27

27

5,196152423

0,19245009

0,190125603

10,89339465

28

28

5,291502622

0,188982237

0,186779461

10,70167482

29

29

5,385164807

0,185695338

0,18360401

10,51973489

30

30

5,477225575

0,182574186

0,180585214

10,34677062

31

31

5,567764363

0,179605302

0,177710601

10,1820674

32

32

5,656854249

0,176776695

0,174969046

10,02498786

33

33

5,744562647

0,174077656

0,17235059

9,874961398

34

34

5,830951895

0,171498585

0,169846288

9,731475473

35

35

5,916079783

0,169030851

0,167448079

9,594068227

36

36

6

0,166666667

0,165148677

9,462322208

37

37

6,08276253

0,164398987

0,162941479

9,335859032

38

38

6,164414003

0,162221421

0,160820481

9,214334802

39

39

6,244997998

0,160128154

0,158780215

9,097436169

40

40

6,32455532

0,158113883

0,156815685

8,984876932

Докажем, что полученные формулы являются формулами тригонометрическими.

Основная формула тригонометрии гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса любого угла равна единице:

В нашем случае:

(20)

Таким образом, сумма квадратов синуса угла ν и косинуса угла ν равна единице, то есть формулы, полученные на основании треугольников спирали Феодора Киренского являются тригонометрическими формулами.

Не менее интересна следующая формула, хотя она не является одной из основных формул тригонометрии.

Известно, что сумма квадрата синуса и квадрата косинуса любого угла равна единице.

А чему равна сумма квадратов косеканса и секанса любого угла?

В то же время, произведение квадратов косеканса и секанса любого угла равняется:

Таким образом, сумма квадратов косеканса и секанса любого угла равна произведению квадратов косеканса и секанса любого угла и равна четырём квадратам косеканса двойного угла.

Выполним вторую проверку.

В нашем случае:

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

Таким образом, сумма квадратов косеканса и секанса угла ν равна произведению квадратов косеканса и секанса угла ν и равна четырём квадратам косеканса двойного угла ν, то есть формулы, полученные на основании треугольников спирали Феодора Киренского являются тригонометрическими формулами.

И самое главное, получена формула (26), в которой произведение чисел равно их сложению.

Выводы:

Каждому числу N соответствует значение тригонометрической функции угла ν:

ctg2 νi = Ni,

или: 1 / tg2 νi = Ni

При N → ∞, угол ν → 0.

При N = 1, угол ν = π/4, или 45°.

При N → 0, угол ν → π/2, или 90°.

Вся числовая ось от нуля до бесконечности заключена между 90° и 0°.

Каждому значению числа N соответствует определённая функция угла ν.

Каждому значению угла ν соответствует определённая функция числа N.

В этом как раз и заключена двойственная природа чисел.

2. Дифференциалы.

2.1. Продифференцируем формулу (1):

(27)

Так как: , то:

(28)

Общепринятое значение d:

(29)

Отношение общепринятого значения дифференциала (28) к полученному значению (29) равно:

(30)

2.2. Продифференцируем формулу (3):

(31)

Так как: , то:

(32)

Общепринятое значение :

(33)

Отношение общепринятого значения дифференциала (33) к полученному значению (32) равно:

(34)

2.3. Продифференцируем формулу (4):

(35)

Так как: , то:

(36)

Общепринятое значение :

(37)

Отношение общепринятого значения дифференциала (37) к полученному значению (36) равно:

(38)

2.4. Продифференцируем формулу (2):

(39)

Так как: , то:

(40)

Общепринятое значение d:

(41)

Отношение общепринятого значения дифференциала (41) к полученному значению (40) равно:

(42)

2.5. Вычислим значения sin ν, Δ sin ν, d sin ν, cos ν, значения сведём в таблицу № 2,

где:

Δ ν = ν2 – ν1;

Δ sin ν = sin ν2 – sin ν1 ;

;

.

Таблица 2. Значения ν, Δ sin ν, d(sin ν), d[sin ν].

N

Δ ν

Δ (sin ν)

d (sin ν) = -sin³ ν / 2

Δ (sin ν)

d [sin ν] = cos ν

           

1

0,785398163

 

-0,176776695

0

0,707106781

2

-0,169918455

-0,129756512

-0,096225045

-0,129756512

0,816496581

3

-0,091880933

-0,077350269

-0,0625

-0,077350269

0,866025404

4

-0,059951167

-0,052786405

-0,04472136

-0,052786405

0,894427191

5

-0,043113274

-0,038965305

-0,034020691

-0,038965305

0,912870929

6

-0,032937649

-0,030283817

-0,026997462

-0,030283817

0,9258201

7

-0,026229563

-0,024411082

-0,022097087

-0,024411082

0,935414347

8

-0,021530214

-0,020220057

-0,018518519

-0,020220057

0,942809042

9

-0,018086355

-0,017105567

-0,015811388

-0,017105567

0,948683298

10

-0,015473185

-0,014716421

-0,013705061

-0,014716421

0,953462589

11

-0,013434597

-0,01283621

-0,012028131

-0,01283621

0,957427108

12

-0,01180787

-0,011325036

-0,010667311

-0,011325036

0,960768923

13

-0,010485139

-0,010088856

-0,009545044

-0,010088856

0,963624112

14

-0,009392352

-0,009062352

-0,00860663

-0,009062352

0,966091783

15

-0,008477156

-0,00819889

-0,0078125

-0,00819889

0,968245837

16

-0,007701592

-0,007464375

-0,007133401

-0,007464375

0,9701425

17

-0,007037538

-0,006833365

-0,006547285

-0,006833365

0,971825316

18

-0,006463761

-0,006286527

-0,006037256

-0,006286527

0,973328527

19

-0,005963958

-0,005808936

-0,00559017

-0,005808936

0,974679434

20

-0,005525429

-0,005388908

-0,005195664

-0,005388908

0,975900073

21

-0,005138144

-0,005017174

-0,004845471

-0,005017174

0,977008421

22

-0,004794094

-0,004686302

-0,004532922

-0,004686302

0,978019294

23

-0,004486808

-0,004390269

-0,004252586

-0,004390269

0,97894501

24

-0,00421101

-0,004124145

-0,004

-0,004124145

0,979795897

25

-0,003962361

-0,003883865

-0,003771464

-0,003883865

0,980580676

26

-0,003737259

-0,003666045

-0,003563891

-0,003666045

0,981306763

27

-0,003532697

-0,003467853

-0,003374683

-0,003467853

0,981980506

28

-0,003346142

-0,003286898

-0,003201644

-0,003286898

0,982607369

29

-0,003175451

-0,003121152

-0,003042903

-0,003121152

0,98319208

30

-0,003018796

-0,002968884

-0,00289686

-0,002968884

0,983738754

31

-0,002874613

-0,002828607

-0,002762136

-0,002828607

0,984250984

32

-0,002741555

-0,002699039

-0,00263754

-0,002699039

0,984731928

33

-0,002618456

-0,002579071

-0,002522038

-0,002579071

0,985184366

           

287

-0,000102747

-0,000102569

-0,000102301

-0,000102569

0,998262379

288

-0,000102213

-0,000102036

-0,000101771

-0,000102036

0,998268397

289

-0,000101683

-0,000101507

-0,000101245

-0,000101507

0,998274373

290

-0,000101158

-0,000100984

-0,000100723

-0,000100984

0,998280308

           

Σ

0,058654665

-0,648485743

-0,747616955

-0,648485743

287,2762485

           

N

Δ ν

Δ (sin ν)

d (sin ν) = -sin³ ν / 2

Δ (sin ν)

d (sin ν) = cos ν

           

 

С увеличением N значения Δ sin ν и d sin ν становятся практически равными, в отличие от общепринятого значения.

Аналогичные значения получаются и при сравнении Δ cos ν и d cos ν,

Δ tg ν и d tg ν, Δ ctg ν и d ctg ν.

Отношение общепринятых значений дифференциалов к полученным значениям всегда равно:

(43)

Вывод: общепринятые значения дифференциалов тригонометрических функций подсчитаны не правильно.

2.6. Формулы дифференциалов тригонометрических функций.

(44)

(45)

(46)

(47)

Общепринятое значение :

(48)

Отношение общепринятого значения дифференциала (48) к полученному значению (47) равно:

(49)

Общепринятое значение :

(50)

Отношение общепринятого значения дифференциала (50) к полученному значению (49) равно:

(51)

(52)

В нашем случае:

В числовом ряде натуральных чисел разница между последующим и предыдущими числами всегда равна единице.

Δ N = (N + 1) – N = 1

Общепринятое значение :

(53)

Общепринятое значение дифференциала квадрата котангенса угла ν значительно отлично от единицы: .

Отношение общепринятого значения дифференциала (53) к полученному значению (52) равно:

Таблица 3. N, значения дифференциалов d [ctg ν] , d [ctg² ν], d (ctg ν) , d (ctg² ν).

N

d [ctg ν] = - 1 / sin² ν

d [ctg² ν]

d (ctg ν) = 1 / (2 * √ N)

d (ctg² ν)

 

(- 1) * (N + 1)

( - 2) * cos ν / sin³ ν

tg ν / 2

Δ N

         

1

-2

-4

0,5

1

2

-3

-8,485281374

0,353553391

1

3

-4

-13,85640646

0,288675135

1

4

-5

-20

0,25

1

5

-6

-26,83281573

0,223606798

1

6

-7

-34,2928564

0,204124145

1

7

-8

-42,33202098

0,188982237

1

8

-9

-50,91168825

0,176776695

1

9

-10

-60

0,166666667

1

10

-11

-69,57010852

0,158113883

1

11

-12

-79,59899497

0,150755672

1

12

-13

-90,06664199

0,144337567

1

13

-14

-100,9554357

0,138675049

1

14

-15

-112,2497216

0,133630621

1

15

-16

-123,9354671

0,129099445

1

16

-17

-136

0,125

1

17

-18

-148,4318025

0,121267813

1

18

-19

-161,2203461

0,11785113

1

19

-20

-174,3559577

0,114707867

1

20

-21

-187,8297101

0,111803399

1

21

-22

-201,6333306

0,109108945

1

22

-23

-215,759125

0,106600358

1

23

-24

-230,1999131

0,104257207

1

24

-25

-244,9489743

0,102062073

1

25

-26

-260

0,1

1

26

-27

-275,3470537

0,098058068

1

27

-28

-290,9845357

0,096225045

1

28

-29

-306,9071521

0,094491118

1

29

-30

-323,1098884

0,092847669

1

30

-31

-339,5879857

0,091287093

1

31

-32

-356,3369192

0,089802651

1

32

-33

-373,3523805

0,088388348

1

33

-34

-390,63026

0,087038828

1

34

-35

-408,1666326

0,085749293

1

35

-36

-425,9577444

0,084515425

1

36

-37

-444

0,083333333

1

37

-38

-462,2899523

0,082199494

1

38

-39

-480,8242922

0,081110711

1

Таким образом, отношение общепринятых значений дифференциалов к полученным значениям дифференциалов тригонометрических функций всегда равно: .

3. Интеграл (первообразная функция).

∫ d (sin ν) = sin ν

∫ d (sin² ν) = sin² ν

∫ d (tg² ν) = tg² ν = 1 / N = ∫ d (1 / N)

∫ d (ctg² ν) = ctg² ν = N = ∫ d N

3.1. Найдём первообразную функцию формулы (3): .

(54)

Общепринятое значение :

(55)

Отношение общепринятого значения интеграла (55) к полученному значению (54) равно:

.

Дважды продифференцируем и и сравним отношение:

, что соответствует ранее полученному результату.

3.2. Найдём первообразную функцию формулы (3): .

(56)

Общепринятое значение :

(57)

Отношение общепринятого значения интеграла (57) к полученному значению (56) равно:

(55)

Дважды продифференцируем и и сравним отношение:

, что соответствует ранее полученному результату.

3.3. Найдём первообразную функцию формулы (3): .

(56) Общепринятое значение :

(57)

Отношение общепринятого значения интеграла (57) к полученному значению (56) равно:

3.4. Найдём первообразную функцию формулы (18): .

(58)

Общепринятое значение :

(59)

Отношение общепринятого значения интеграла (59) к полученному значению (58) равно:

3.5. Сравним отношения интегралов: :

3.6. Найдём первообразную функцию формулы: .

(60)

Общепринятое значение :

(61)

3.7. Найдём первообразную функцию формулы: .

(62)

3.8. Определим фактическое (реальное) значение интеграла .

Известно, сумма членов натурального ряда: .

Общепринятое значение :

Разница между фактическим (реальным) значением и общепринятым значением составляет:

(63) .

4. Заключение.

Тригонометрическая теория чисел позволяет определить точные значения тригонометрических функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса на основе натуральных чисел.

Тригонометрическая теория чисел позволяет точно определить значения производных и интегралов (первообразных функций) тригонометрических функций.

Дифференцирование и интегрирование тригонометрических функций на основе тригонометрической теории чисел выявили несоответствие общепринятых значений дифференциалов и интегралов их правильным (реальным) значениям.


Библиографическая ссылка

Колодин А.В. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НА ОСНОВЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ // Научное обозрение. Фундаментальные и прикладные исследования. – 2017. – № 1.;
URL: http://scientificreview.ru/ru/article/view?id=2 (дата обращения: 15.11.2018).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252