Научный журнал
Научное обозрение. Фундаментальные и прикладные исследования

ОДНО ИЗ ВОЗМОЖНЫХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Кузнецов В.И. 1
1 ФГБОУ ВО «Омский государственный технический университет»
Приведено оригинальное доказательство Великой теоремы Ферма. Приведены закономерности: цикличность изменения последней цифры любого числа и цикличность изменения последней цифры числа в произвольной степени, благодаря которым появилась возможность экстраполировать результаты расчетов чисел в небольших степенях на бесконечно большие числа и степени. Показано, что идет повторяемость последнего числа степени через четыре степени. Последняя цифра любого числа в первой степени может иметь от одного до четырех значений при возведении этого числа в степень от нуля до бесконечности. Рассмотрены произвольные степени различных чисел. Для анализа взяты только те числа, у которых последняя цифра числа a^n равна последней цифре суммы (b^n+c^n ). Из анализа первых пяти таблиц найдены числа с такими последними цифрами, которые дают минимальное значение разности между числом a^n и суммой чисел (b^n+c^n ). Причем последние цифры числа a^n и суммы чисел (b^n+c^n ) равны между собой. Определено, что минимальная разность |?_min | между числом a^n и суммой чисел (b^n+c^n ) стремится к бесконечности при увеличении до бесконечности числа a и степени n, т.е.|?_min |?? при a?? и n?? и, следовательно, не может быть равенства между числом a^n и суммой чисел (b^n+c^n ) при степени n?3.
последняя цифра любого числа
последняя цифра числа
возведенного в произвольную степень
цикличность последней цифры числа в первой и любой другой произвольной степени.
1. Манин Ю.И., Панчишкин. Введение в современную теорию чисел. – М.:МЦНМО, 2009. – 550 с.
2. Наварро Хоакин. Неуловимые идеи и вечные теоремы. Великие задачи математики. – М.: Де Агостини, 2014 – с. 84-160.
3. Виолан-и-Хольц, Альберт. – М.: Де Агостини, 2014. – 151 с.
4. Luis Alvarez. Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма // Наука, Вели-чайшие теории. – М.: Де Агостини, 2015. – 160 с.
5. Wiles Andrew. Modular elliptic, curves and Fermat's last theorem. Annals of Mathematics. 1995. 141 (3): 443 – 551.
6. Taylor Richard, Wiles Andrew. Ring theoretic propertics of centain Hecke aldebras. Annls of Mathematics. 1995. 141 (3): 553-572.

Введение

Великая теорема Ферма – одна из самых популярных теорем математики. Её условие формулируется просто, на «школьном» арифметическом уровне, однако доказательство теоремы искали многие математики более трехсот лет. Доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом.

В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта. Теорему он записал с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги.

Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков и множество дилетантов-любителей; считается, что теорема стоит на первом месте по количеству некорректных «доказательств».

Последний важный шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в сентябре 1994г. Его 130 страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics»в 1995г.

В предлагаемой работе сделана попытка упростить доказательство Великой теоремы Ферма.

Постановка задачи

Теорема утверждает, что для любого натурального числа уравнение

(1)

не имеет решений в целых ненулевых числах Встречается более узкий вариант формулировки, утверждающий, что это уравнение не имеет натуральных решений. Доказательство теоремы искали многие математики более трехсот лет О трехвековом вызове математики и самой сложной задаче в мире писали Виолант-и-Хольц, Альберт и Альварес Л.Ф. Окончательно Великая теорема Ферма доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом (Wiles Andrew) и Ричардом Тейлором (Tayler Richard).

В данной работе сделана попытка упростить доказательство.

Доказательство.

Число может изменяться в пределах от 3 до бесконечности. Числа также могут изменяться в пределах от единицы до бесконечности.

Чтобы доказательство было наглядным должна быть найдена цикличность. Если для цикла с небольшими значениями чисел и степеней будет доказано, что уравнение(1) не имеет решений в целых ненулевых числах, то и для циклов, уходящих на бесконечность, будет распространяться это доказательство.

Любое число заканчивается цифрой, имеющей значение от нуля до девяти. При возведении числа в любую степень последняя цифра этой степени определяется последней цифрой числа. В таблице 1 показано как меняется последняя цифра числа при возведении его в степень от до .

Последняя цифра числа при возведении его в степень

Таблица 1

cтепень

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

…1

…1

…1

…1

…1

…1

…1

…1

…1

…1

…1

…1

…1

…2

…2

…4

…8

…6

…2

…4

…8

…6

…2

…4

…8

…6

…3

…3

…9

…7

…1

…3

…9

…7

…1

…3

…9

…7

…1

…4

…4

…6

…4

…6

…4

…6

…4

…6

…4

…6

…4

…6

…5

…5

…5

…5

…5

…5

…5

…5

…5

…5

…5

…5

…5

…6

…6

…6

…6

…6

…6

…6

…6

…6

…6

…6

…6

…6

…7

…7

…9

…3

…1

…7

…9

…3

…1

…7

…9

…3

…1

…8

…8

…4

…2

…6

…8

…4

…2

…6

…8

…4

…2

…6

…9

…9

…1

…9

…1

…9

…1

…9

…1

…9

…1

…9

…1

…0

…0

…0

…0

…0

…0

…0

…0

…0

…0

…0

…0

…0

Из таб.1 видно, что идет повторяемость последнего числа степени через четыре степени, т.е. (1,5,9,13,17…); (2,6,10,14…); (3,7,11,15…); (4,8,12,16…).

Таким образом, последняя цифра любого числа в произвольной степени может быть представлена в четырех видах (табл.1);

-

-

-

-

Например: , тогда = = 54 + ,

, тогда = = 54 + ; и т.д.

найдено две цикличности:

- последняя цифра любого числа меняется в пределах от нуля до девяти;

- найдена цикличность изменения последней цифры числа при возведении его в произвольную степень (она повторяется через каждую четвертую степень), т.е.

=,

где .

Рассматриваются произвольные степени различных чисел. Для анализа берутся только те числа, у которых последняя цифра числа равна последней цифре суммы .

При составлении таблицы последняя цифра числа берется максимально возможной, а число берется таким, чтобы последняя цифра суммы последних цифр чисел и была равна последней цифре числа .

В таблицах 2÷5 рассматривались только те числа, в которых последняя цифра числа совпадает с последней цифрой суммы чисел

Как видно из таблиц 2÷5 в каждой из степеней имеется несколько значений чисел, где последняя цифра разности равна нулю.

В таблицу 6 внесены только те значения чисел и имеет минимальное значение

Проводится анализ результатов расчетов, приведенных в таблицах 2

1.Рассматривается степень = 1+4m и числа , , , где , Числа берутся в соответствии с таблицей 6, чтобы последняя цифра числа была равна последней цифре суммы чисел Все остальные числа будут иметь разность или последние цифры числа и суммы чисел

=+ (2)

Уравнение (2) представляется в виде

=b+c (3)

В правой части уравнения (3) величина выносится за скобки

=. (4)

В уравнении (4) величина a, а величина больше т.к.

Следовательно, и их разность

Таким образом, при можно записать в виде

. (5)

2. Рассматривается степень =2+4m, а также числа , , ,

, Числа берутся в соответствии с таблицей 6 для =2+4m,

чтобы последняя цифра числа была равна последней цифре суммы чисел остальные числа будут иметь разность или последние цифры числа и суммы чисел

=+(6)

Уравнение (6) представляется в виде

=+ (7)

В правой части уравнения (7) величина выносится за скобки.

. (8)

В уравнении (8) величина , а величина , т.к. .

Следовательно, и их разность =-

Таким образом, при , и уравнение (6) можно записать в виде

(9)

3. Рассматриваемая степень =3+4m, а также числа , ,

Числа берутся в соответствии с таблицей 6 для степени =3+4m, чтобы последняя цифра числа была равна последней цифре суммы чисел или последние цифры числа и суммы чисел

=+ (10)

Уравнение (10) представляется в виде =+ (11)

В правой части уравнения (11) величина выносится за скобки

(12)

В уравнении (12) в соответствии с таблицей 6 величина а величина , т.к. .

Следовательно, и их разность =-

Таким образом, при , и уравнение (10) можно записать в виде

(13)

4. Рассматривается степень = 4+4m,а также числа ,,

Числа берутся в соответствии с таблицей 6 для степени =4+4m, чтобы последняя цифра числа была равна последней цифре суммы чисел или последние цифры числа и суммы чисел

=+ (14)

Уравнение (14) представляется в виде =+ (15)

В правой части уравнения (15) величина выносится за скобки

(16)

В уравнении (16) в соответствии с таблицей 6 величина а величина , т.к. .

Следовательно, и их разность =-

Таким образом, при , и уравнение (14) можно записать в виде

(14)

Как видно из таблиц любая степень может быть выражена через четыре степени = 1+4m; = 2+4m; = 3+4m; = 4+4m, где

Число может быть равно сумме чисел только при не может быть равенства чисел и при

Таким образом, при любых значениях чисел a=1… и степени не может быть равенства между и суммой т.е. +. (15)

Великая теорема Ферма доказана.

Заключение

Любое число заканчивается цифрой, имеющей значение от нуля до девяти. Найдена цикличность изменения последней цифры числа при его возведении в произвольную степень . Показано, что последняя цифра числа будет одна и та же через каждую четвертую степень. Таким образом, идет повторяемость последней цифры степени через каждые четыре степени. Одни и те же цифры будут у степеней ; ; .

Любая степень числа может быть выражена одной из четырех значений

=i+4m, где

На базе анализа таблиц составлена обобщенная таблица 6. Эта таблица дает минимальное значение , т.е. разность чисел и при возведении их в любую степень . Анализ значений величин в таблице 6 показал, что увеличение степени при постоянном значении числа или увеличение числа при постоянной степени приводит к росту . Таким образом, получено, что при и , минимальная разность числа и суммы стремится к бесконечности; т.е. . Следовательно, при . Великая теорема Ферма доказана.

Степень, ,

где =

Таблица 2

Число

ПЦЧ

ПЦC

=

…1

1

1

1

25+95=32+59049=59081

35+85=243+32768=33011

45+75=1024+16807=17831

55+65=3125+7776=10901

15+105=1+105=10001

1-59081=-59080

1-33011=-33010

1-17831=-17830

1-10901=-10900

1-10001=-10000

100000

…2

2

2

32

15+15=1+1=2

25+105=1+100000=100032

35+95=243+59049=59282

45+85=1024+32768=33792

55+75=3125+16807=19932

65+65=7776+7776=15552

32-2=30

32-100032=-100000

32-59282=-59250

32-33792=-33760

32-19-32=-19900

32-15552=-15520

3

…3

3

3

243

15+25=1+32+33

35+105=243+105=100243

45+95=1024+59049=60073

55+85=3125+32768=35893

65+75=7776+16807=24583

243-33=210

243-100243=-100000

243-60073=-59830

243-35893=-35650

243-24583=-24340

210

…4

4

4

1024

15+35=1+243=244

55+95=3125+59049=62174

65+85=7776+32768=40544

75++75=2•16807=33614

1024-244=780

1024-62174=-61150

1024-40544=-39520

1024-33614=-32590

780

…5

5

5

3125

15+45=1+1024=1025

25+35=32+243=275

65+95=7776+59049=66825

75+85=16807+32768=49575

3125-1025=2100

3125-275=2850

3125-66825=-62700

3125-49575=-46450

2100

…6

6

6

7776

15+55=1+3125=3126

25+45=32+1024=1056

75+95=16807+59049=75856

35+35=243+243=486

85+85=32768•2=65536

7776-3126=4650

7776-1056=6720

7776-7585-68080

7776-486=7690

7776-65536=-57760

4650

…7

7

7

16807

15+65=1+7776=7777

25+55=32+3125=3157

35+45=243+1024=1267

85+95=32768+59049=91817

16807-7777=9030

16807-3157=13650

16807-1267=15540

16807-91817=-75010

9030

…8

8

8

32768

15+75=1+16807=16808

25+65=32+7776=7808

35+55=243+3125=3368

45+45=1024+1024=2048

32768-16808=15960

32768-7808=24960

32768-3368=29400

32768-2048=30720

15960

….9

9

9

59049

15+85=1++32768=32769

25+75=32+16807=16839

35+65=243+7776=8019

45+55=1024+3125=4149

59049-32769=36280

59049-16839=42210

59049-8019=51030

59049-4149=54900

36280

…0

0

0

100000

15+95=1+59049=59050

25+85=32+32768=32800

35+75=243+16807=17050

45+65=1024+7776=8800

55+55=3125+3125=62500

100000-59050=40950

100000-32800=67200

100000-17050=82950

100000-8800=91200

100000-6250=93750

40950

 

Степень где ,

+;

Таблица 3

Число

ПЦЧ

ПЦC

=

…1

1

1

1

46+56=4096+15625=19721

56+66=15625+46656=62281

96+106=1531441

1-19721=-19720

1-62281=-62280

1-1531441=-1531440

19720

…2

2

4

64

36+56=729+15625=16354

56+76=15625+117649=133274

86+106=1262144

64-16354=-16290

64-133274=-133210

64-1262144=-1262080

16290

…3

3

9

729

26+56=64+15625=15689

56+86=15625+262144=277769

76+106=1117649

729-15689=-14960

729-277769=-277040

729-1117649=-11175920

14960

…4

4

6

4096

56+96=15625+531441=547066

16+56=1+15625=15626

4096-547066=-542970

4096-15626=-11530

11530

…5

5

5

15625

16+26=1+64=65

36+46=729+4096=4825

16+86=1+262144=262145

86+96=262144+531441=793585

15625-65=15560

15625-4825=10800

15625-262145=-246520

15625-793585=-777960

10800

…6

6

6

46656

16+56=1+15625=15626

56+96=15625+531441=547066

46+106=4096+106=1004096

46656-15626=31030

46656-547066=-500410

46656-1004096=-957440

31030

…7

7

9

117649

26+56=64+15625=15689

36+106=1000729

56+86=15625+262144=277769

117649-15689=101960

117649-1000729=-883080

117649-277769=-160120

101960

…8

8

4

262144

36+56=729+15625=16354

56+76=15625+117649=133274

26+106=1000064

262144-16354=245790

262144-133274=128870

262144-1000064=-737920

128870

…9

9

1

531441

46+56=4096+15625=19721

56+66=15625+46656=62281

16+106=1000001

531441-19721=511720

531441-62281=46916

531441-1000001=-468560

46916

…0

0

0

106

16+36=730

26+46=64+4096=4160

16+76=117650

46+86=4096+262144=266240

36+96=729+531441=532170

76+96=117649+531441=649090

66+86=46656+262144=308800

106-730=999270

106-4160=995840

106-117650=882350

106-266240=73376

106-532170=467830

106-649090=350910

106-308800=691200

350910

Степень ; +,3+4m, где

--;

Таблица 4

Число

ПЦЧ

ПЦC

=

…1

1

1

1

33+43=27+64=91

53+63=125+216=341

23+73=8+343=351

83+93=512+729=1241

1-91=-90

1-341=-340

1-351=-350

1-1241=-1240

90

…2

2

8

8

13+33=1+27=28

53+73=125+343=468

63+83=216+512=728

8-28=-20

8-468=-460

8-728=-720

20

…3

3

7

27

13+63=1+216=217

43+73=64+343=407

5383=125+512=637

27-217=-190

27-407=-380

27-637=-610

190

…4

4

4

64

23+63=81+216=224

13+73=1+343=344

53+93=125+729=854

64-224=-160

64-344=-280

64-854=-790

160

…5

5

5

125

13+43=1+64=65

23+33=8+27=35

73+83=343+512=855

63+93=216+729

125-65=60

125-35=90

125-855=-730

125-945=-820

60

…6

6

6

216

13+53=1+125=126

43+83=64+512=576

216-126=90

216-576=-360

90

…7

7

3

343

23+53=8+125=133

33+63=27+216=243

43+93=64+729=793

343-133=210

343-243=100

343-793=-450

100

…8

8

2

512

23+43=8+64=72

33+53=27+125=152

73+93=343+729=1072

512-72=440

512-152=360

512-1072=-560

360

…9

9

9

729

13+23=1+8=9

43+53=64+125=189

63+73=216+343=559

33+83=27+512=539

729-9=720

729-189=540

729-559=170

729-539=190

170

…0

0

0

1000

13+93=1+729=730

23+83=8+512=520

33+73=27+343=370

43+63=64+216=280

53+53=125+125=250

1000-730=270

1000-520=480

1000-370=630

1000-280=720

1000-250=750

270

Степень где +

--;

Таблица 5

Число

ПЦЧ

ПЦC

=

…1

1

1

1

24+54=16+625=641

44+54=256+625=881

54+64=625+1296=1921

54+84=625+4096=4721

1-641=-640

11-881=-880

1-1921=-1920

1-4721=-4720

640

…2

2

6

16

14+54=1+625=626

54+74=625+2401=3026

54+94=625+6561=7186

16-626=-610

16-3026=-3010

16-7186=-7170

610

…3

3

1

81

14+104=1+104=1001

44+54=256+625=881

54+64=625+1296=1921

74+104=2401+10000=12401

54+84=625+4096=4721

94+104=6561+104=16561

81-1001=-920

81-881=-800

81-1921=-1840

81-12401=-12320

81-4721=-4640

81-16561=-16480

800

…4

4

6

256

14+54=1+625=626

24+104=16+104=10016

34+54=81+625=706

54+74=625+2401=3026

54+94=625+6561=7186

44+104=256+104=10256

256-626=-370

256-10016=-9760

256-706=-450

256-3026=-2770

256-7186=-6930

256-10256=-10000

370

…5

5

5

625

54+104=625+10000=10625

625-10625=-10000

10000

…6

6

6

1296

34+54=81+625=706

54+94=625-6561=7186

44+104=256+104=10256

84+104=4096+104=14096

1296-706=590

1296-7186=-5890

1296-10256=-8960

1296-14096=-12800

590

…7

7

1

2401

24+54=625+16=641

44+54=256+625=841

14+104=10001

34+104=81+104=10081

2401-641=1760

2401-841=1560

2401-10001=-7600

2401-10081=-7680

1560

…8

8

6

4096

54+74=625+2401=3026

34+54=81+625=706

14+54=1+625=626

54+94=625+6561=7186

64+104=1296+104=11296

24+104=16+104=10016

4096-3026=1070

4096-706=3390

4096-626=3470

4096-7186=-3090

4096-11296=-7200

4096-10016=-5920

1070

…9

9

1

6561

24+54=16+625=641

44+54=256+625=881

54+84=625+4096=4721

94+104=6561+104=16561

6561-641=5920

6561-881=5720

6561-4721=1840

6561-16561=-10000

1840

…0

0

0

10000

2•54=2•625=1250

10000-1250=8750

 

 

Обобщенная таблица чисел при одинаковых значениях последних цифр и минимальной разницей между числами и по анализу табл. 1

Таблица 6

Формулы =1+4m, где .

; ;

Формулы =2+4m, где .

; ;

п/п

п/п

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

10

Формулы =3+4m, где .

; ;

Формулы =4+4m, где .

; ;

п/п

п/п

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

10

Условные обозначения:

ПЦЧ – последняя цифра числа;

ПЦС – последняя цифра степени.


Библиографическая ссылка

Кузнецов В.И. ОДНО ИЗ ВОЗМОЖНЫХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА // Научное обозрение. Фундаментальные и прикладные исследования. – 2018. – № 3.;
URL: http://scientificreview.ru/ru/article/view?id=34 (дата обращения: 15.11.2018).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252