Scientific journal
Advances of Clinical and Experimental Surgery

ONE POSSIBLE PROOF OF FERMAT'S LAST THEOREM

Kuznetsov V.I. 1
1 Omsk state technical University
Приведено оригинальное доказательство Великой теоремы Ферма. Приведены закономерности: цикличность изменения последней цифры любого числа и цикличность изменения последней цифры числа в произвольной степени, благодаря которым появилась возможность экстраполировать результаты расчетов чисел в небольших степенях на бесконечно большие числа и степени. Показано, что идет повторяемость последнего числа степени через четыре степени. Последняя цифра любого числа в первой степени может иметь от одного до четырех значений при возведении этого числа в степень от нуля до бесконечности. Рассмотрены произвольные степени различных чисел. Для анализа взяты только те числа, у которых последняя цифра числа a^n равна последней цифре суммы (b^n+c^n ). Из анализа первых пяти таблиц найдены числа с такими последними цифрами, которые дают минимальное значение разности между числом a^n и суммой чисел (b^n+c^n ). Причем последние цифры числа a^n и суммы чисел (b^n+c^n ) равны между собой. Определено, что минимальная разность |?_min | между числом a^n и суммой чисел (b^n+c^n ) стремится к бесконечности при увеличении до бесконечности числа a и степени n, т.е.|?_min |?? при a?? и n?? и, следовательно, не может быть равенства между числом a^n и суммой чисел (b^n+c^n ) при степени n?3.
An original proof of Fermat's Great Theorem is given. Shows two patterns: the cyclical changes in the last digit of the number in any degree by which it became possible to extrapolate the results of calculations to a small extent by an infinitely large number and degree.Calculation of numbers in rebolshih degrees on an infinite number of degrees and. It is shown that there is a repeatability of the last number of degree through four degrees. The last digit of any number in the first degree can have from one to four values in the construction of this number in any degree from zero to infinity Arbitrary degrees of different numbers are considered Analysed onlythose numbers whose last digit of number a^n egual the last digit of the sum (b^n+c^n ). From the analisis of the finst tables, we find the numbers wint such last digits, which give the minimum valuc of the difference between the number a^nand the sum (b^n+c^n ) . Moreover, the last digits of the number a^n and the sum of the numbers (b^c+c^n ) are egual to each other. It is determined that the minimum difference |?_min | between the number a^n and the sum of the numbers (b^n+c^n )tends to infinity as the number a increases and the degree , i.e. |?_min |?? ata a?? and n?? and, therefore, the re can be no eguality between the number a and the sum of numbers (b^n+c^n ) at a degree n?3.
the last digit of any number raised to an arbitrary degree of cyclicity last digits in the first and any otner arbitrary degree

Введение

Великая теорема Ферма – одна из самых популярных теорем математики. Её условие формулируется просто, на «школьном» арифметическом уровне, однако доказательство теоремы искали многие математики более трехсот лет. Доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом.

В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта. Теорему он записал с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги.

Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков и множество дилетантов-любителей; считается, что теорема стоит на первом месте по количеству некорректных «доказательств».

Последний важный шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в сентябре 1994г. Его 130 страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics»в 1995г.

В предлагаемой работе сделана попытка упростить доказательство Великой теоремы Ферма.

Постановка задачи

Теорема утверждает, что для любого натурального числа уравнение

(1)

не имеет решений в целых ненулевых числах Встречается более узкий вариант формулировки, утверждающий, что это уравнение не имеет натуральных решений. Доказательство теоремы искали многие математики более трехсот лет О трехвековом вызове математики и самой сложной задаче в мире писали Виолант-и-Хольц, Альберт и Альварес Л.Ф. Окончательно Великая теорема Ферма доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом (Wiles Andrew) и Ричардом Тейлором (Tayler Richard).

В данной работе сделана попытка упростить доказательство.

Доказательство.

Число может изменяться в пределах от 3 до бесконечности. Числа также могут изменяться в пределах от единицы до бесконечности.

Чтобы доказательство было наглядным должна быть найдена цикличность. Если для цикла с небольшими значениями чисел и степеней будет доказано, что уравнение(1) не имеет решений в целых ненулевых числах, то и для циклов, уходящих на бесконечность, будет распространяться это доказательство.

Любое число заканчивается цифрой, имеющей значение от нуля до девяти. При возведении числа в любую степень последняя цифра этой степени определяется последней цифрой числа. В таблице 1 показано как меняется последняя цифра числа при возведении его в степень от до .

Последняя цифра числа при возведении его в степень

Таблица 1

cтепень

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

…1

…1

…1

…1

…1

…1

…1

…1

…1

…1

…1

…1

…1

…2

…2

…4

…8

…6

…2

…4

…8

…6

…2

…4

…8

…6

…3

…3

…9

…7

…1

…3

…9

…7

…1

…3

…9

…7

…1

…4

…4

…6

…4

…6

…4

…6

…4

…6

…4

…6

…4

…6

…5

…5

…5

…5

…5

…5

…5

…5

…5

…5

…5

…5

…5

…6

…6

…6

…6

…6

…6

…6

…6

…6

…6

…6

…6

…6

…7

…7

…9

…3

…1

…7

…9

…3

…1

…7

…9

…3

…1

…8

…8

…4

…2

…6

…8

…4

…2

…6

…8

…4

…2

…6

…9

…9

…1

…9

…1

…9

…1

…9

…1

…9

…1

…9

…1

…0

…0

…0

…0

…0

…0

…0

…0

…0

…0

…0

…0

…0

Из таб.1 видно, что идет повторяемость последнего числа степени через четыре степени, т.е. (1,5,9,13,17…); (2,6,10,14…); (3,7,11,15…); (4,8,12,16…).

Таким образом, последняя цифра любого числа в произвольной степени может быть представлена в четырех видах (табл.1);

-

-

-

-

Например: , тогда = = 54 + ,

, тогда = = 54 + ; и т.д.

найдено две цикличности:

- последняя цифра любого числа меняется в пределах от нуля до девяти;

- найдена цикличность изменения последней цифры числа при возведении его в произвольную степень (она повторяется через каждую четвертую степень), т.е.

=,

где .

Рассматриваются произвольные степени различных чисел. Для анализа берутся только те числа, у которых последняя цифра числа равна последней цифре суммы .

При составлении таблицы последняя цифра числа берется максимально возможной, а число берется таким, чтобы последняя цифра суммы последних цифр чисел и была равна последней цифре числа .

В таблицах 2÷5 рассматривались только те числа, в которых последняя цифра числа совпадает с последней цифрой суммы чисел

Как видно из таблиц 2÷5 в каждой из степеней имеется несколько значений чисел, где последняя цифра разности равна нулю.

В таблицу 6 внесены только те значения чисел и имеет минимальное значение

Проводится анализ результатов расчетов, приведенных в таблицах 2

1.Рассматривается степень = 1+4m и числа , , , где , Числа берутся в соответствии с таблицей 6, чтобы последняя цифра числа была равна последней цифре суммы чисел Все остальные числа будут иметь разность или последние цифры числа и суммы чисел

=+ (2)

Уравнение (2) представляется в виде

=b+c (3)

В правой части уравнения (3) величина выносится за скобки

=. (4)

В уравнении (4) величина a, а величина больше т.к.

Следовательно, и их разность

Таким образом, при можно записать в виде

. (5)

2. Рассматривается степень =2+4m, а также числа , , ,

, Числа берутся в соответствии с таблицей 6 для =2+4m,

чтобы последняя цифра числа была равна последней цифре суммы чисел остальные числа будут иметь разность или последние цифры числа и суммы чисел

=+(6)

Уравнение (6) представляется в виде

=+ (7)

В правой части уравнения (7) величина выносится за скобки.

. (8)

В уравнении (8) величина , а величина , т.к. .

Следовательно, и их разность =-

Таким образом, при , и уравнение (6) можно записать в виде

(9)

3. Рассматриваемая степень =3+4m, а также числа , ,

Числа берутся в соответствии с таблицей 6 для степени =3+4m, чтобы последняя цифра числа была равна последней цифре суммы чисел или последние цифры числа и суммы чисел

=+ (10)

Уравнение (10) представляется в виде =+ (11)

В правой части уравнения (11) величина выносится за скобки

(12)

В уравнении (12) в соответствии с таблицей 6 величина а величина , т.к. .

Следовательно, и их разность =-

Таким образом, при , и уравнение (10) можно записать в виде

(13)

4. Рассматривается степень = 4+4m,а также числа ,,

Числа берутся в соответствии с таблицей 6 для степени =4+4m, чтобы последняя цифра числа была равна последней цифре суммы чисел или последние цифры числа и суммы чисел

=+ (14)

Уравнение (14) представляется в виде =+ (15)

В правой части уравнения (15) величина выносится за скобки

(16)

В уравнении (16) в соответствии с таблицей 6 величина а величина , т.к. .

Следовательно, и их разность =-

Таким образом, при , и уравнение (14) можно записать в виде

(14)

Как видно из таблиц любая степень может быть выражена через четыре степени = 1+4m; = 2+4m; = 3+4m; = 4+4m, где

Число может быть равно сумме чисел только при не может быть равенства чисел и при

Таким образом, при любых значениях чисел a=1… и степени не может быть равенства между и суммой т.е. +. (15)

Великая теорема Ферма доказана.

Заключение

Любое число заканчивается цифрой, имеющей значение от нуля до девяти. Найдена цикличность изменения последней цифры числа при его возведении в произвольную степень . Показано, что последняя цифра числа будет одна и та же через каждую четвертую степень. Таким образом, идет повторяемость последней цифры степени через каждые четыре степени. Одни и те же цифры будут у степеней ; ; .

Любая степень числа может быть выражена одной из четырех значений

=i+4m, где

На базе анализа таблиц составлена обобщенная таблица 6. Эта таблица дает минимальное значение , т.е. разность чисел и при возведении их в любую степень . Анализ значений величин в таблице 6 показал, что увеличение степени при постоянном значении числа или увеличение числа при постоянной степени приводит к росту . Таким образом, получено, что при и , минимальная разность числа и суммы стремится к бесконечности; т.е. . Следовательно, при . Великая теорема Ферма доказана.

Степень, ,

где =

Таблица 2

Число

ПЦЧ

ПЦC

=

…1

1

1

1

25+95=32+59049=59081

35+85=243+32768=33011

45+75=1024+16807=17831

55+65=3125+7776=10901

15+105=1+105=10001

1-59081=-59080

1-33011=-33010

1-17831=-17830

1-10901=-10900

1-10001=-10000

100000

…2

2

2

32

15+15=1+1=2

25+105=1+100000=100032

35+95=243+59049=59282

45+85=1024+32768=33792

55+75=3125+16807=19932

65+65=7776+7776=15552

32-2=30

32-100032=-100000

32-59282=-59250

32-33792=-33760

32-19-32=-19900

32-15552=-15520

3

…3

3

3

243

15+25=1+32+33

35+105=243+105=100243

45+95=1024+59049=60073

55+85=3125+32768=35893

65+75=7776+16807=24583

243-33=210

243-100243=-100000

243-60073=-59830

243-35893=-35650

243-24583=-24340

210

…4

4

4

1024

15+35=1+243=244

55+95=3125+59049=62174

65+85=7776+32768=40544

75++75=2•16807=33614

1024-244=780

1024-62174=-61150

1024-40544=-39520

1024-33614=-32590

780

…5

5

5

3125

15+45=1+1024=1025

25+35=32+243=275

65+95=7776+59049=66825

75+85=16807+32768=49575

3125-1025=2100

3125-275=2850

3125-66825=-62700

3125-49575=-46450

2100

…6

6

6

7776

15+55=1+3125=3126

25+45=32+1024=1056

75+95=16807+59049=75856

35+35=243+243=486

85+85=32768•2=65536

7776-3126=4650

7776-1056=6720

7776-7585-68080

7776-486=7690

7776-65536=-57760

4650

…7

7

7

16807

15+65=1+7776=7777

25+55=32+3125=3157

35+45=243+1024=1267

85+95=32768+59049=91817

16807-7777=9030

16807-3157=13650

16807-1267=15540

16807-91817=-75010

9030

…8

8

8

32768

15+75=1+16807=16808

25+65=32+7776=7808

35+55=243+3125=3368

45+45=1024+1024=2048

32768-16808=15960

32768-7808=24960

32768-3368=29400

32768-2048=30720

15960

….9

9

9

59049

15+85=1++32768=32769

25+75=32+16807=16839

35+65=243+7776=8019

45+55=1024+3125=4149

59049-32769=36280

59049-16839=42210

59049-8019=51030

59049-4149=54900

36280

…0

0

0

100000

15+95=1+59049=59050

25+85=32+32768=32800

35+75=243+16807=17050

45+65=1024+7776=8800

55+55=3125+3125=62500

100000-59050=40950

100000-32800=67200

100000-17050=82950

100000-8800=91200

100000-6250=93750

40950

 

Степень где ,

+;

Таблица 3

Число

ПЦЧ

ПЦC

=

…1

1

1

1

46+56=4096+15625=19721

56+66=15625+46656=62281

96+106=1531441

1-19721=-19720

1-62281=-62280

1-1531441=-1531440

19720

…2

2

4

64

36+56=729+15625=16354

56+76=15625+117649=133274

86+106=1262144

64-16354=-16290

64-133274=-133210

64-1262144=-1262080

16290

…3

3

9

729

26+56=64+15625=15689

56+86=15625+262144=277769

76+106=1117649

729-15689=-14960

729-277769=-277040

729-1117649=-11175920

14960

…4

4

6

4096

56+96=15625+531441=547066

16+56=1+15625=15626

4096-547066=-542970

4096-15626=-11530

11530

…5

5

5

15625

16+26=1+64=65

36+46=729+4096=4825

16+86=1+262144=262145

86+96=262144+531441=793585

15625-65=15560

15625-4825=10800

15625-262145=-246520

15625-793585=-777960

10800

…6

6

6

46656

16+56=1+15625=15626

56+96=15625+531441=547066

46+106=4096+106=1004096

46656-15626=31030

46656-547066=-500410

46656-1004096=-957440

31030

…7

7

9

117649

26+56=64+15625=15689

36+106=1000729

56+86=15625+262144=277769

117649-15689=101960

117649-1000729=-883080

117649-277769=-160120

101960

…8

8

4

262144

36+56=729+15625=16354

56+76=15625+117649=133274

26+106=1000064

262144-16354=245790

262144-133274=128870

262144-1000064=-737920

128870

…9

9

1

531441

46+56=4096+15625=19721

56+66=15625+46656=62281

16+106=1000001

531441-19721=511720

531441-62281=46916

531441-1000001=-468560

46916

…0

0

0

106

16+36=730

26+46=64+4096=4160

16+76=117650

46+86=4096+262144=266240

36+96=729+531441=532170

76+96=117649+531441=649090

66+86=46656+262144=308800

106-730=999270

106-4160=995840

106-117650=882350

106-266240=73376

106-532170=467830

106-649090=350910

106-308800=691200

350910

Степень ; +,3+4m, где

--;

Таблица 4

Число

ПЦЧ

ПЦC

=

…1

1

1

1

33+43=27+64=91

53+63=125+216=341

23+73=8+343=351

83+93=512+729=1241

1-91=-90

1-341=-340

1-351=-350

1-1241=-1240

90

…2

2

8

8

13+33=1+27=28

53+73=125+343=468

63+83=216+512=728

8-28=-20

8-468=-460

8-728=-720

20

…3

3

7

27

13+63=1+216=217

43+73=64+343=407

5383=125+512=637

27-217=-190

27-407=-380

27-637=-610

190

…4

4

4

64

23+63=81+216=224

13+73=1+343=344

53+93=125+729=854

64-224=-160

64-344=-280

64-854=-790

160

…5

5

5

125

13+43=1+64=65

23+33=8+27=35

73+83=343+512=855

63+93=216+729

125-65=60

125-35=90

125-855=-730

125-945=-820

60

…6

6

6

216

13+53=1+125=126

43+83=64+512=576

216-126=90

216-576=-360

90

…7

7

3

343

23+53=8+125=133

33+63=27+216=243

43+93=64+729=793

343-133=210

343-243=100

343-793=-450

100

…8

8

2

512

23+43=8+64=72

33+53=27+125=152

73+93=343+729=1072

512-72=440

512-152=360

512-1072=-560

360

…9

9

9

729

13+23=1+8=9

43+53=64+125=189

63+73=216+343=559

33+83=27+512=539

729-9=720

729-189=540

729-559=170

729-539=190

170

…0

0

0

1000

13+93=1+729=730

23+83=8+512=520

33+73=27+343=370

43+63=64+216=280

53+53=125+125=250

1000-730=270

1000-520=480

1000-370=630

1000-280=720

1000-250=750

270

Степень где +

--;

Таблица 5

Число

ПЦЧ

ПЦC

=

…1

1

1

1

24+54=16+625=641

44+54=256+625=881

54+64=625+1296=1921

54+84=625+4096=4721

1-641=-640

11-881=-880

1-1921=-1920

1-4721=-4720

640

…2

2

6

16

14+54=1+625=626

54+74=625+2401=3026

54+94=625+6561=7186

16-626=-610

16-3026=-3010

16-7186=-7170

610

…3

3

1

81

14+104=1+104=1001

44+54=256+625=881

54+64=625+1296=1921

74+104=2401+10000=12401

54+84=625+4096=4721

94+104=6561+104=16561

81-1001=-920

81-881=-800

81-1921=-1840

81-12401=-12320

81-4721=-4640

81-16561=-16480

800

…4

4

6

256

14+54=1+625=626

24+104=16+104=10016

34+54=81+625=706

54+74=625+2401=3026

54+94=625+6561=7186

44+104=256+104=10256

256-626=-370

256-10016=-9760

256-706=-450

256-3026=-2770

256-7186=-6930

256-10256=-10000

370

…5

5

5

625

54+104=625+10000=10625

625-10625=-10000

10000

…6

6

6

1296

34+54=81+625=706

54+94=625-6561=7186

44+104=256+104=10256

84+104=4096+104=14096

1296-706=590

1296-7186=-5890

1296-10256=-8960

1296-14096=-12800

590

…7

7

1

2401

24+54=625+16=641

44+54=256+625=841

14+104=10001

34+104=81+104=10081

2401-641=1760

2401-841=1560

2401-10001=-7600

2401-10081=-7680

1560

…8

8

6

4096

54+74=625+2401=3026

34+54=81+625=706

14+54=1+625=626

54+94=625+6561=7186

64+104=1296+104=11296

24+104=16+104=10016

4096-3026=1070

4096-706=3390

4096-626=3470

4096-7186=-3090

4096-11296=-7200

4096-10016=-5920

1070

…9

9

1

6561

24+54=16+625=641

44+54=256+625=881

54+84=625+4096=4721

94+104=6561+104=16561

6561-641=5920

6561-881=5720

6561-4721=1840

6561-16561=-10000

1840

…0

0

0

10000

2•54=2•625=1250

10000-1250=8750

 

 

Обобщенная таблица чисел при одинаковых значениях последних цифр и минимальной разницей между числами и по анализу табл. 1

Таблица 6

Формулы =1+4m, где .

; ;

Формулы =2+4m, где .

; ;

п/п

п/п

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

10

Формулы =3+4m, где .

; ;

Формулы =4+4m, где .

; ;

п/п

п/п

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

10

Условные обозначения:

ПЦЧ – последняя цифра числа;

ПЦС – последняя цифра степени.