Scientific journal

Scientific Review. Fundamental and Applied Research

Введение

Великая теорема Ферма – одна из самых популярных теорем математики. Её условие формулируется просто, на «школьном» арифметическом уровне, однако доказательство теоремы искали многие математики более трехсот лет. Доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом.

В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта. Теорему он записал с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги.

Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков и множество дилетантов-любителей; считается, что теорема стоит на первом месте по количеству некорректных «доказательств».

Последний важный шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в сентябре 1994г. Его 130 страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics»в 1995г.

В предлагаемой работе сделана попытка упростить доказательство Великой теоремы Ферма.

Постановка задачи

Теорема утверждает, что для любого натурального числа уравнение

(1)

не имеет решений в целых ненулевых числах Встречается более узкий вариант формулировки, утверждающий, что это уравнение не имеет натуральных решений. Доказательство теоремы искали многие математики более трехсот лет О трехвековом вызове математики и самой сложной задаче в мире писали Виолант-и-Хольц, Альберт и Альварес Л.Ф. Окончательно Великая теорема Ферма доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом (Wiles Andrew) и Ричардом Тейлором (Tayler Richard).

В данной работе сделана попытка упростить доказательство.

Доказательство.

Число может изменяться в пределах от 3 до бесконечности. Числа также могут изменяться в пределах от единицы до бесконечности.

Чтобы доказательство было наглядным должна быть найдена цикличность. Если для цикла с небольшими значениями чисел и степеней будет доказано, что уравнение(1) не имеет решений в целых ненулевых числах, то и для циклов, уходящих на бесконечность, будет распространяться это доказательство.

Любое число заканчивается цифрой, имеющей значение от нуля до девяти. При возведении числа в любую степень последняя цифра этой степени определяется последней цифрой числа. В таблице 1 показано как меняется последняя цифра числа при возведении его в степень от до .

Последняя цифра числа при возведении его в степень

Таблица 1

Из таб.1 видно, что идет повторяемость последнего числа степени через четыре степени, т.е. (1,5,9,13,17…); (2,6,10,14…); (3,7,11,15…); (4,8,12,16…).

Таким образом, последняя цифра любого числа в произвольной степени может быть представлена в четырех видах (табл.1);

-

-

-

-

Например: , тогда = = 54 + ,

, тогда = = 54 + ; и т.д.

найдено две цикличности:

- последняя цифра любого числа меняется в пределах от нуля до девяти;

- найдена цикличность изменения последней цифры числа при возведении его в произвольную степень (она повторяется через каждую четвертую степень), т.е.

=,

где .

Рассматриваются произвольные степени различных чисел. Для анализа берутся только те числа, у которых последняя цифра числа равна последней цифре суммы .

При составлении таблицы последняя цифра числа берется максимально возможной, а число берется таким, чтобы последняя цифра суммы последних цифр чисел и была равна последней цифре числа .

В таблицах 2÷5 рассматривались только те числа, в которых последняя цифра числа совпадает с последней цифрой суммы чисел

Как видно из таблиц 2÷5 в каждой из степеней имеется несколько значений чисел, где последняя цифра разности равна нулю.

В таблицу 6 внесены только те значения чисел и имеет минимальное значение

Проводится анализ результатов расчетов, приведенных в таблицах 2

1.Рассматривается степень = 1+4m и числа , , , где , Числа берутся в соответствии с таблицей 6, чтобы последняя цифра числа была равна последней цифре суммы чисел Все остальные числа будут иметь разность или последние цифры числа и суммы чисел

=+ (2)

Уравнение (2) представляется в виде

=b+c (3)

В правой части уравнения (3) величина выносится за скобки

=. (4)

В уравнении (4) величина a, а величина больше т.к.

Следовательно, и их разность

Таким образом, при можно записать в виде

. (5)

2. Рассматривается степень =2+4m, а также числа , , ,

, Числа берутся в соответствии с таблицей 6 для =2+4m,

чтобы последняя цифра числа была равна последней цифре суммы чисел остальные числа будут иметь разность или последние цифры числа и суммы чисел

=+(6)

Уравнение (6) представляется в виде

=+ (7)

В правой части уравнения (7) величина выносится за скобки.

. (8)

В уравнении (8) величина , а величина , т.к. .

Следовательно, и их разность =-

Таким образом, при , и уравнение (6) можно записать в виде

(9)

3. Рассматриваемая степень =3+4m, а также числа , ,

Числа берутся в соответствии с таблицей 6 для степени =3+4m, чтобы последняя цифра числа была равна последней цифре суммы чисел или последние цифры числа и суммы чисел

=+ (10)

Уравнение (10) представляется в виде =+ (11)

В правой части уравнения (11) величина выносится за скобки

(12)

В уравнении (12) в соответствии с таблицей 6 величина а величина , т.к. .

Следовательно, и их разность =-

Таким образом, при , и уравнение (10) можно записать в виде

(13)

4. Рассматривается степень = 4+4m,а также числа ,,

Числа берутся в соответствии с таблицей 6 для степени =4+4m, чтобы последняя цифра числа была равна последней цифре суммы чисел или последние цифры числа и суммы чисел

=+ (14)

Уравнение (14) представляется в виде =+ (15)

В правой части уравнения (15) величина выносится за скобки

(16)

В уравнении (16) в соответствии с таблицей 6 величина а величина , т.к. .

Следовательно, и их разность =-

Таким образом, при , и уравнение (14) можно записать в виде

(14)

Как видно из таблиц любая степень может быть выражена через четыре степени = 1+4m; = 2+4m; = 3+4m; = 4+4m, где

Число может быть равно сумме чисел только при не может быть равенства чисел и при

Таким образом, при любых значениях чисел a=1… и степени не может быть равенства между и суммой т.е. +. (15)

Великая теорема Ферма доказана.

Заключение

Любое число заканчивается цифрой, имеющей значение от нуля до девяти. Найдена цикличность изменения последней цифры числа при его возведении в произвольную степень . Показано, что последняя цифра числа будет одна и та же через каждую четвертую степень. Таким образом, идет повторяемость последней цифры степени через каждые четыре степени. Одни и те же цифры будут у степеней ; ; .

Любая степень числа может быть выражена одной из четырех значений

=i+4m, где

На базе анализа таблиц составлена обобщенная таблица 6. Эта таблица дает минимальное значение , т.е. разность чисел и при возведении их в любую степень . Анализ значений величин в таблице 6 показал, что увеличение степени при постоянном значении числа или увеличение числа при постоянной степени приводит к росту . Таким образом, получено, что при и , минимальная разность числа и суммы стремится к бесконечности; т.е. . Следовательно, при . Великая теорема Ферма доказана.

Степень, ,

где =

Таблица 2

Степень где ,

+;

Таблица 3

Степень ; +,3+4m, где

--;

Таблица 4

Степень где +

--;

Таблица 5

Обобщенная таблица чисел при одинаковых значениях последних цифр и минимальной разницей между числами и по анализу табл. 1

Таблица 6

Условные обозначения:

ПЦЧ – последняя цифра числа;

ПЦС – последняя цифра степени.