Scientific journal

Scientific Review. Fundamental and Applied Research

Введение

В работе проводится обзор способов умножения, с дополнениями, произведений двух сомножителей, первый из которых состоит из однородных цифр, главном образом, девяток в произвольном количестве, как наиболее удобных для выполнения торговых и других расчетов. Второй сомножитель при этом может состоять из различного количества произвольных цифр. Девяткой можно воспользоваться и в случаях, когда первый сомножитель состоит из других однородных цифр.

Цель работы

Целью работы является определение вариантов более простых способов нахождения ответов указанных произведений первых сомножителей на двучлены, трехчлены и так далее, и некоторых других вариантов произведений.

Результаты исследований и их обсуждение

Напомним структуру произведений, изложенную в [1-2]. Количество цифр первого сомножителя обозначим , второго . Ответ произведения, в общем случае, состоит из трех частей: 1-ой (начальной), 2-ой (средней), 3-ей (последней). Наиболее консервативная 3-я часть ответа; в 1-ой при определённых обстоятельствах может измениться последняя цифра. Первая и третья части ответа состоят из одинакового количества цифр, равного их количеству в наименьшем из сомножителей. Средняя, т.е. 2-ая часть, наиболее вариабельная. Она состоит из периодических цифр в количестве , при или из периодических цифр в количестве , последняя цифра из которых на единицу меньше (т.е. имеет место сбой в ответе). В этом случае последняя цифра первой части ответа увеличивается на единицу.

Замечание 1. Общее количество цифр в ответе равно сумме их в обоих сомножителях.

Замечание 2. Если цифры 1-го сомножителя состоят из девяток, то средняя часть ответа состоит только из периодических девяток в количестве равным . Случаи, когда рассмотрены по ходу применения их в работе [2].

Особенностью ответа всех произведений является равенство суммы величин 1-ой и 3-ей частей их средней части ответа, состоящей из такого же количества цифр, если даже их нет в реальном ответе. В этом случае 2-ую часть называют средним числом. Если известны две какие-либо части ответа, всегда можно найти 3-ью. Периодическое число 2-ой части, может быть найдено независимо от 1-ой и 3-ей частей ответа, путем сведения к “простому” (коренному, одной цифре) числу произведения суммы цифр 2-го сомножителя на цифру 1-го. Если средняя часть ответа, состоящая из этих периодических чисел в количестве равном 1-ой или 3-ей части, окажется меньше какой-либо из них, то в ответе имеем сбой.

1 Приведем методы умножения первых сомножителей, составленных из девяток.

1. Общий универсальный метод для всех разновидностей и , использующий таблицу умножения [1].

2. Метод “зануления” девяток (общеизвестный, [1]). Пример: . Получаем: a) ; б) .

Здесь 842 – 1-ая часть ответа, 9 – 2-ая часть, а второе число средней части ; 3-я часть – 157. Все – 1-ая, 3-я части и 2-ое число (виртуальная, [3]) – трехчлены, т.к. . Вторая часть – 9, т.к. .

3. Пример:

Метод произведения соответствующих цифр обоих сомножителей
(метод “скобок” – 1, [2]). Перемножая, получим: . Затем справа налево суммируем соседние цифры скобок в количествах , а затем т.к. , суммируем один раз все цифры, а далее слева направо в количествах (аналогично поступаем в подобных случаях в дальнейшем).

1) 7 ; 2) 5 ?; 3) 1 ?; 4) 9 ?; 5) 2 ?; 6) 4 ?; 7) 8

С конца (в обратном порядке) записываем цифры в квадратах (здесь и далее). Получим .

Замечание: индексы (цифры в кружочках) прибавляем к последующим суммам цифр (здесь и далее).

4. Метод пошагового суммирования (метод “скобок” – 2, ). [2]

Примеры:

а)

Перемножаем, смещая двучлен пошагово налево до совпадения первых цифр сомножителей следующим образом:

– пошагово суммируем справа налево, получаем: 1) 6 ; 2) 2 ?; 3) 9 ?;
4) 9 ?; 5) 3 ?; 6) 7

Ответ: .

б)

переходим к двучленам в каждой скобке, прибавляя сотни к десяткам предыдущей скобки пошагово суммируем справа налево, десятки каждой скобки с единицами соседней левой скобки .

Ответ: .

5. Умножение “столбиком” (), [2]. Примеры:

а)

Сначала записываем произведения крайних цифр сомножителей (в виде двучленов), затем суммы цифр крайних двучленов, второго сомножителя умноженные на , и складываем их следующим образом:

и , где

Т.к. количество цифр в каждой части равно , то старшая цифра второй суммы (единица) прибавляется к единицам первой. Получаем и – 1-ая и 3-я части произведения, затем произведение располагаем между трехчленами 1-ой и 3-ей части и распределяем между ними:

, где

т.е. единицы прибавляем к старшему разряду правой части ответа (3-ей), а остальные цифры к соответствующим разрядам первой части. Но в примере , следовательно, существует средняя часть ответа в виде одной цифры. В случае первого сомножителя, состоящего из девяток, вторая часть ответа – . Проверим: Итак, ответ: .

б)

, где далее

, средней части нет. Ответ: .

6. Самый простой способ умножения первого сомножителя, состоящего из девяток на произвольный второй сомножитель для случая , [2].

Суть способа: сразу записываем части ответа, первая часть – это второй сомножитель, уменьшенный на единицу, третья часть – разность между второй (виртуальной) частью, состоящей из девяток в количестве и первой частью ответа. Вторая часть ответа состоит из девяток в количестве .

Пример: . Ответ: , где – первая часть ответа, – третья часть ответа, , следовательно, средняя часть ответа 99.

Замечание: для случая , первая и третья часть ответа находятся несколько иначе. Первая и третья часть ответа по количеству цифр равны , только первая часть – это первые числа второго сомножителя, причем последняя цифра на единицу меньше. Третья часть – это разность между числом, состоящим из девяток в количестве и количеством последних цифр второго сомножителя, уменьшенных на единицу. Между ними располагается средняя часть ответа. Она находится как сумма последних цифр второго сомножителя в количестве и разности между числом девяток и первых цифр второго сомножителя.

Рассмотрим на примере ():

– первая часть ответа, – третья часть ответа, так как. Средняя часть: , так как . Получим , так как . Итак, ответ: .

7. Добавим еще один способ умножения первого сомножителя, состоящего из девяток на любой второй сомножитель для случая и . Это способ “разделения на десятки и единицы”.

В этом случае каждую цифру второго сомножителя умножаем на и записываем последовательно десятки произведения слева, а соответствующие единицы справа. Затем при от каждой цифры правой части (единиц), кроме последней, отнимается единица и прибавляется к советующим десяткам левой части (кроме последней цифры десятков).

Примеры ():

а)

1) 2504 – десятки, 7495 – единицы;
2) , , следовательно, средней части в ответе нет. Итак, ответ: .

б) Найдем первую и третью части ответа

Последние цифры произведения и – неизменны, а первые и изменяются на единицу: первая (десятки) увеличивается, вторая (единицы) – уменьшается. Получаем . Так как , где – первая часть ответа, а – третья. Вторая часть ответа состоит из девяток в количестве , т.е. равна . Итак, ответ: .

Случаи, когда . В этом случае первая и третья части ответов – крайние цифры у десяток (слева) и единиц (справа) соответственно. Каждая из них содержит количество цифр, равное их количеству в меньшем сомножителе. Без изменения остаются последние цифры, остальные изменяются на единицу, как ранее указано. Средняя часть есть сумма оставшихся цифр в количестве, равном меньшему сомножителю.

Примеры:

а)

Решение: перемножаем и разделяем соответствующие десятки и единицы. Получим . За квадратными скобками цифры первой и третей части – двучлены. Т.к. , то их последние цифры неизменны, а предыдущие изменяются на единицу, т.е. ; а получим: . Средняя часть есть сумма оставшихся двучленов (в скобках), т.е. . Получили , но , следовательно, в ответе должно быть цифр. Первую цифру скобки прибавляем к единицам первой части. Получим ответ: .

б)

Решение: умножаем и отделяем первую и третью части , первая и третья части ответа – трехчлены, т.к. (вне скобок). Следовательно, две первые цифры первой части увеличиваются на единицу, а две первые цифры третьей части уменьшаются на единицу, третьи их последние цифры – без перемен. Получим . Итак, ответ: .

в)

Решение: . Здесь первая и третья части – однозначные, следовательно, остаются без перемен. Среднюю часть находим как сумму трехчленов в скобках по разрядам. Получим , а т.к. , то имеем , где . Итак, ответ: .

Замечание: способ разделения десяток и единиц (способ 7) можно применять для нахождения ответа произведения второго сомножителя на любое однозначное число первого сомножителя.

Пример:

Решение: , где .

Ответ: .

Отметим, что из всех приведенных способов умножения, способы могут использоваться также, если первый сомножитель состоит из других однородных цифр.

Примеры:

а) метод 3:

. Суммируем справа налево цифры в количествах , а затем для получения средней части суммируем дважды по шесть цифр т.к. , а затем слева направо – цифры в количестве . Везде с учетом индексов.
Получим: . Итак, ответ: . Ноль добавлен впереди для формализации ответа, т.к. количество цифр в ответе должно равняется

б) метод 4:

переходим к двучленам .

Ответ: .

2 Цифра может применятся при нахождении первой и второй, а, следовательно, и третьей частей ответа произведения, в которых первый сомножитель может состоять из других однородных цифр (не девяток), а второй – из произвольных цифр (для случаев ). Рассмотрим несколько вариантов.

? Число делится на цифру 1-го сомножителя, затем 2-ой сомножитель делится на полученный результат. В результате получаем, как правило, дробное число, целая часть которого и есть первая часть ответа, а первая цифра десятичной дроби – периодическая цифра второй части ответа. Если в результате деления получаем целое число, то от него отнимаем единицу, а в качестве дробной части (второй части ответа) записываем девятки в количестве равном . Третья часть ответа находится, как разность второй и первой частей ответа, причем вторая часть берется с количеством цифр равным .

Примеры:

1)

Решение: . Первая часть ответа – 31 (), а периодическое число второй части , но , следовательно сбоя нет. Тогда третья часть ответа равна . Итак, ответ: .

2)

Решение: – целое. В этом случае результат записываем как , где – первая часть ответа, а – вторая часть, тогда третья часть , а т.к. , получаем ответ, состоящий из первой и третьей части.

Ответ: .

3)

Решение: В этом случае , следовательно, имеем сбой в средней части. Средняя часть ответа . В этом случае, чтобы найти третью часть ответа находим . Итак, ответ: .

4)

Решение: . Средняя часть ответа (виртуальной) , тогда третья часть: (в случае сбоя отнимается 1).

Ответ: . Средняя часть ответа 2 – число сбоя, т.к. .

Составим таблицу результатов деления девятки на различные однозначные цифры где – периодическое число первого сомножителя.

Таблица 1

Деление девятки на однозначные числа

Из таблицы 1 следует, что самой неудобной цифрой для этого метода является цифра . В этом случае можно воспользоваться другими приемами умножения.

?

. Но , имеет место сбой. Т.к. , то средняя часть ответа 54, тогда третью часть (в случае сбоя) находим как разность , где . Итак, ответ: .

? Способ

1)

Итак, ответ: .

2)

Итак, ответ: .

Замечание: можно использовать при нахождении ответа, первый сомножитель, состоящий из единиц в количестве , при умножении его на второй сомножитель, а затем результат произведения умножим на цифру первого сомножителя. Но умножения с помощью девяток – более простой вариант, особенно для случаев, когда второй сомножитель трехчлен, четырёхчлен и т.д. ().

Заключение

Обзор различных методов указанных произведений двух сомножителей позволяет в различных случаях применять упрощенные способы любых аналогичных произведений. (Некоторые методы будут рассмотрены в приложениях 1 и 2 к данной статье). Кроме того, методы могут быть актуальны в связи с процессами, разворачивающимися в пространстве Земли и космоса, и переходом в новую частотную среду обитания [4], где все технические средства могут выйти из строя [5].