Цель статьи: применяя рассмотренные ранее способы нахождения произведения двух сомножителей, указанные в работах [1,2,3], находить ответы произведения при различных вариациях количества однородных периодических цифр первого сомножителя по известному ответу произведения какого-либо одного из них.
Введение
В работе рассматриваются различные методы составления ответов произведения двух сомножителей, вторые из которых неизменны (двучлены, трехчлены, …), а первые могут иметь различные количества однородных цифр, если известен ответ какого-либо одного (базового) из них. Методы нахождения базовых произведений приведены в статье автора «О некоторых способах умножения» [1].
Материалы и методы исследования
В статье используются арифметические и алгебраические методы нахождения различных произведений.
Результаты исследований и их обсуждение
Рассмотрим нахождение произведений, первый сомножитель у которых состоит из девяток, когда 
при различных количествах 
, если известно произведение одного из них (*), на один и тот же второй сомножитель.
Примеры:
Дано (*) 
.
Найти 1) 
; 2) 
; 3) 
.
Решение:
1) Решение:
, 
. Для нахождения произведения (1), цифры ответа произведения (*) пошагово суммируем справа налево (результаты каждого шага помещаем в квадрат): 
; 
; 
; 
; 
?. 
?=. Индексы здесь и далее учитываются как обычно. Цифры в ответе, везде в подобных случаях, записываются в обратном порядке, их получения.
Ответ: 
.
2) Решение: здесь суммирование цифр ответа (*) производится пошагово справа налево в количествах 1, 2, 3, 3, 3, 2, 1. Получим: ; ; 
; 
?. 
?=
?. 
?
?; 
?=
.
Ответ: 
.
3) 
Решение: здесь в ответе (*) суммирование цифр производится последовательно в количествах 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 справа налево. Получим:
; 
; 
; 
?. 
?=
?; ?=13 ?; ?=
?; ?=.
Ответ: 
.
При дальнейшем увеличении числа девяток в первом сомножителе, девятками заполняется средняя часть ответа в количестве 
.
Пример: 1) 
. Решение: первая и третья части ответа те же что и в случае 
. Вторая часть 
, т. к. 
. Можно за базовое произведение взять произведение сомножителей, когда .
Пример, (*) .
Найти: 1) 
; 2) 
; 3) 
.
1) Решение: 
. Первая и третья части сохраняются как в (*) в количестве цифр равном 3 каждая (как у наименьшего сомножителя), т.е. 423 – первая, а 763 – третья части ответа. Среднюю часть находим, суммируя цифры: последнюю цифру первой части (6) ответа и первую с третьей части (5), а затем отнимаем от суммы периодическое число
, т.е. 
– средняя часть данного произведения. Итак, ответ: .
2) Решение: 
, тогда из 
первая часть ответа – 
, а третья – 
(первые и последние двучлены ответа (*)). Найдем среднюю часть. Для этого в ответе (*) суммируем двучлены: последний первой части ответа и первый третьей части, т.е. 
. От 
отнимаем периодическое число 
, но т.к. 
, то занимаем единицу из предыдущего разряда первой части ответа. Получим 
, а первая часть ответа будет равна 
. Итак, ответ: 
.
3) Решение: 
. Следовательно, первая и третья части – одночлены – крайние цифры ответа (*), т.е. 
и 
. Для нахождения средней части суммируем в (*) (т.к. 
) ближайшие к центру трёхчлены и отнимаем 
. Получим: 
; 
. В этом случае опять занимаем единицу у предыдущего старшего разряда в ответе (*). Получим: 
, а первая часть ответа становится на единицу меньше: 
. Итак, ответ: 
.
Рассмотрим случаи, когда в базовом произведении первый сомножитель может состоять из другого количества девяток: 
Примеры:
Дано (*): . Найти: 1) 2) 3) 
1) Решение: , 
. Последняя цифра ответа (*) – сохраняется. А далее от цифр предыдущего разряда отнимаем пошагово предыдущее найденное число. Получим: 
; 
; 
; 
; 
(единицу заняли у предыдущей цифры соседнего разряда); 
. Ответ: .
2) Решение: здесь можно найти произведение и прибавить его к ответу , учитывая необходимый сдвиг разрядов, т.е.
Можно воспользоваться другими, указанными ранее способами умножения.
3) 
Решение: здесь самое простое – непосредственно записать ответ по правилу [1]. Получим ответ: 
. Можно воспользоваться другим способом.
а) Пусть (*) . Найти
Решение: из (*) 
. Здесь первая и третья части – двучлены, а в искомом произведении четырехчлены. Неизвестные цифры обозначим неизвестными 
. Тогда искомые части примут вид 
и 
– первая и третья части ответа, а среднее число (виртуальное) искомого произведения – 
. Тогда
то есть 
; 
; 
; 
. Искомый ответ: 
(
средней части нет).
б) Пусть (*) 
. Найти Решение: здесь неизвестны две цифры искомого ответа – последняя в первой части и первая в – третьей. Обозначим их соответственно 
и 
, т.е. 
– первая часть ответа, а 
– третья часть. Средняя часть ответа 
(виртуальное) тогда
то есть 
; 
. Получим: первая часть ответа 
, третья – 
, а 
, средней части нет. Итак, ответ: .
Пусть дано . Найти Решение: в этом случае от результата произведения (*) надо отнять результат , расположив советующим образом порядки, а именно:
. Или просто применить обычные правила умножения [1], где действия производятся главным образом с двумя сомножителями: 
, 
– средняя часть ответа. А произведение, когда (девятке) можно быстро подсчитать разными способами. Наиболее удобный – разделение на десятки и единицы (способ 7, [1]).
Пример: найти 
Умножая каждую цифру второго сомножителя, пошагово на 9, десятки и единицы произведения записываем раздельно, получим: 
, следовательно, первая и третья части ответа – одночлены. Выделим их: 
. Итак, ответ: 
.
В работе [3] рассмотрены случаи нахождения ответов промежуточных произведений по базовым произведениям с и с 
при одном и том же втором сомножителе (произвольном), а первый может состоять из произвольных однородных цифр. Приведем примеры таких произведений и дополним их случаями, когда базовым произведением может быть произвольное из них. Рассмотрим случаи, когда второй сомножитель, главным образом, – трехчлен.
а) Число второй части ответа – без сбоя.
Пусть (*) 
, здесь 
впереди добавлен для формализации ответа, в котором количество цифр должно быть равно 
.
Найти 1) 
2) 
3) 
1) Решение: здесь 
. Ответ находим пошаговым суммированием соседних цифр ответа (*), начиная (как и везде) с конца. Имеем из (*): 
; 
?; 
?=
; 
. Начало ответа, как обычно, записываем с конца 
– ответ.
2) Здесь 
. Производим пошаговое суммирование соседних цифр ответа (*) в количествах 
, справа налево, а затем 
слева направо. Получим: 
; 
?; 
? 
?. 
?= ; 
; 
.
Ответ: 
3) 
В таких случаях всегда проще найти среднюю часть ответа произведения (3) и поместить ее в среднюю часть ответа произведения (2). Средняя часть: 
– периодическое число, а 
, следовательно, сбоя нет. Количество цифр в ответе второй части равно 
, т.е. вторая часть ответа (3) равна 
первая часть 
, третья – 
– из ответа (2) или 
. Получим ответ: 
.
Рассмотрим произвольные базовые варианты этих сомножителей:
Дано (*) 
. Найти 1) 
2)
1) Решение: из (*) имеем 
; 
. (здесь единица занята из предыдущего разряда). Его цифра стала 
; 
. Получим 
– ответ.
2) Решение: из (*) найдем третью часть ответа: 
– две последние цифры т.к. они совпадают (по наименьшему количеству цифр, входящих в первый сомножитель (*) и 
). Затем находим первую цифру третьей части из : 
. Тогда третья часть ответа (2) – . Первую часть находим как разность второй (виртуальной) и третьей частей, т.е. 
. Итак, имеем 
– ответ.
Можно применить другой способ. Ответ произведения (*) содержит крайние (внешние) двучлены первой и третьей части ответа (2)
Для формализации трехчленов ответа (2) введем неизвестные 
и 
, т.е. первая часть 
, а третья – 
. Их сумма должна равняться среднему числу ответа 
, т. е.
; 1 – заняли у предыдущего разряда среднего числа ответа, а 
. Получим: первая часть – , третья часть – 
. Ответ: 
.
Рассмотрим ход процесса в обратном порядке. Дано (*)1 
. Найти 1) 2) 
Средняя часть в (*)1 – 
– без сбоя.
Решение: перейдем от (*)1 к (*)2, где (убрали среднюю часть из (*)1). Дано (*)2 
. Найти 1) 2) Решение. Здесь – 7 первая цифра третьей части ответа (*)1 – 748. Чтобы найти первую часть ответа суммируем в (*)2 первую часть и первую цифру третьей части 
, а затем от результата отнимаем среднее число 7 (так как 
), получим: 
– первая часть ответа. А т.к. , то последние две цифры ответа (*)1 сохраняются. Получим 
– ответ.
2) Решение: 
. В ответе здесь сохраняется последняя цифра 
из (*)2. А т. к. 
, имеем: 
, 
– первая часть ответа. Ответ: 
.
Пример: Дано (*) 
. Найти 1) 
; 2) 
; 3) 
Средняя часть ответа перемножаемых сомножителей – со сбоем.
1) Решение: ответ находим методом пошагового суммирования соседних цифр (*) справа налево: из (*) последняя цифра 2 неизменна (
). Получим: 
; 
?; 
? 
?. 
? 
?; 
? = . Ответ: 
.
2) Аналогично ранее указанному, метод суммирования производится справа налево в порядке 1, 2, 3, а затем слева направо в порядке 3, 2, 1. Получим: ; 
?; 
? 
?. 
? 
?; 
?. ?=. Ответ: 
.
В этом случае () получим две части ответа: первую – 
и третью – 
. Средняя часть равно , т.к. 
. Дальнейшее увеличении 
приведет к появлению чисел второй части в количестве, равном 
. Так как в этом случае имеет место сбой, то сначала во второй части ответа появляется цифра сбоя и одновременно увеличивается на единицу первая часть, а с увеличением 
пошагово увеличивается количество периодических цифр второй части ответа. Итак, можем записать: 
, здесь средняя часть ответа 
– число сбоя (
), 
, средняя часть 
и т.д. Первая часть увеличивается на единицу начиная с 
, т.е. 
.
Зная ответ для 
, всегда автоматически можно его записать для случая 
.
3) Найдем: 
Ответ для случаев можно найти и путем суммирования цифр ответа (*), [1].
Решение: из ответа (*) имеем: ; 
?; 
?
?. 
? 
?; 
? (суммируем все цифра ответа (*) дважды, т.к. 
) 
? ; ?; ?
. Тогда получим 
.
Нахождение ответов произведений с одинаковым вторым сомножителем, когда количество цифр первого сомножителя меньше, чем базового.
Дано (*) 
. Найти 1) 
2) 
1) Решение: цифры последней части ответа (*) в количестве 
, т.е. 12 – не меняются. Затем суммируем первую часть с первой цифрой третьей части (т.к. 
) и отнимаем 
(
4 – цифра сбоя, а единица забирается от первой части ответа). Получим: 
. Тогда ответ: 
.
2) Решение: из ответа (*) 
, т.к. 
, а средняя часть 
, а так как , то последняя цифра ответа (*) неизменна. Получим ответ: .
Рассмотрим случаи, когда базовым произведением является (*) 
. Найти 1) 2) 
Решение: 1) Здесь применяем метод последовательного вычитания. Последняя цифра 
из ответа (*) неизменна, т. к. в (1): ; 
. Здесь, как и всегда в таких случаях единицу занимаем в соседнем предыдущем разряде. 
; 
; 
. Ответ: 
.
2) Решение: чтобы найти первую и третью части ответа при 
, надо найти по три составляющих их цифры. Из ответа (*) имеем в первой части ответа две первые цифры – 
, а в третьем две последние – 12. Заменим недостающие цифры неизвестными и , т.е. получим 
и 
соответственно и воспользуемся свойством равенства суммы первой и третьей частей ответа среднему числу 
(в нашем случае – виртуальному):
где 
, а 
. Но – однозначное число поэтому число десятков переходит к предыдущему разряду 
. Получаем: первая часть ответа – 
, а третья – . Ответ: 
.
Рассмотрим еще один способ вариации ответов произведений при заданном базовом произведении 
независимо от наличия сбоя во второй части ответа.
Примеры. Пусть 
– четырёхзначное число. Рассмотрим произведения: 1) 
; 2) 
; 3) 
. Будем выбирать базовым произведением (*) любое из них и находить ответы остальных, используя метод скобок [3].
1) Пусть (*) 
. Найти 2) 
Решение: запишем ответ (*) в виде скобок, полученных пошаговым перемножением на каждую цифру второго сомножителя: 
– ответ. При получении ответа произведения (2) крайние скобки остаются неизменными. Суммируем цифры двух первых и двух последних скобок: 
и 
. Располагаем 
и 
между крайними двучленами 
и 
. Затем суммируем цифры двух внутренних скобок 
и результат помещаем в середине: 
(суммируя пошагово) 
– ответ.
Чтобы пойти обратным путем 
(от 
к 
, ответ произведения (2) записываем в виде скобок: 
. Затем удаляем среднюю скобку, а в соседних (справа и слева от нее) записываем разность цифр второй и первой скобок слева и третьей и четвертой – справа, т.е. 
и 
Крайние скобки – без перемен. Получим 
– ответ.
2) Дано (*) . Найти 1) 
Решение: записываем ответ произведения (*) в виде скобок: 
. Далее суммируем цифры скобок в последовательности: слева направо в количествах 1, 2, 3, а затем справа налево в количествах 3, 2, 1. Получим:
(переходим к двучленам) 
еще раз 
пошагово суммируем справа налево 
– ответ.
В случае обратного перехода (от 
к 
) из ответа в виде скобок для произведения (2), т. е. 
, получаем:
,
далее удаляем скобки, в которых 
умножается на сумму трех цифр. Получим 
, а затем, вместо второй скобки, записываем разность цифр второй и первой скобок 
, а вместо третьей – разность цифр третьей и четвертой скобок, т.е. 
. Получим: 
– ответ.
3) Дано (*) 
. Найти 2) 
Решение: записываем ответ произведения (*) в виде скобок:
.
Удаляем произведения с суммой трех цифр 
и 
, получим 
. Среднюю скобку для полученного выражения можно найти как разность цифр третьей и первой скобок произведения (*) 
или четвертой и шестой скобок, т. к. 
. Скобку 
помещаем в середину скобок, полученных после удаления произведений трех слагаемых. Получим 
– ответ.
Чтобы перейти от ответа произведения с к ответу произведения с надо последовательно просуммировать цифры третьей и первой скобок, а затем третьей и пятой и записать их как третью и четвертую скобки в окончательное выражение. Получим 
(переходим к двучленам в скобках) 
(пошагово суммируем) 
– ответ.
При необходимости на практике можно использовать любой из этих методов.
Методы могут быть полезны при проведении расчётов с большими массивами данных (в торговых операциях, научных исследованиях и так далее), особенно в связи с изменениями, идущими сейчас в процессе Великого Перехода [4,5] и, в частности, с выходом из строя связи, всех высокочастотных технологических изделий [6-9].
Заключение
Указанные методы расширяют возможности нахождения произведений двух сомножителей в случаях, когда первый сомножитель состоит из различного количества однородных цифр, а второй – из произвольных, но неизменных цифр в каждой группе преобразования.