Научный журнал
Научное обозрение. Фундаментальные и прикладные исследования

О ВАРИАЦИЯХ С ОТВЕТАМИ ПРОИЗВЕДЕНИЙ

Селиверстова И.Ф. 1
1 Красноярский институт железнодорожного транспорта - филиал ФГБОУ ВО ИрГУПС
В статье «О вариациях с ответами произведений» на базе различных методов нахождения произведений, когда первый сомножитель состоит из однородных цифр, а второй сомножитель – двучлен, трехчлен, … состоит из произвольного количества любых цифр, рассмотренных в статье автора «О некоторых способах умножения» приводятся способы составления ответа любого произведения с произвольными вариациями количества цифр первого сомножителя при неизменном втором, если известен ответ произведения какого-либо одного (базового) из рассматриваемой системы произведений. Приведены случаи нахождения ответов произведений при произвольном неизменном втором сомножителе, а первый может содержать произвольное количество однородных периодических цифр, если задан ответ произведения (базового), когда первый сомножитель содержит одну эту цифру, а также случаи, когда в качестве базовых рассматриваются произведения сомножителей, когда количество периодических цифр первого сомножителя меньше, равно или больше, чем количество цифр второго сомножителя. При нахождении базовых произведений могут применяться различные способы, как было ранее показано. Более простые расчёты и вариации с ответами получаются при использовании в качестве первого сомножителя периодических девяток. При составлении промежуточных ответов на основе базового, часто используются пошаговые действия с цифрами базового ответа (методы «скобок», алгебраические с использованием переменных и другие). Методы, предложенные в статье актуальны при работе с большими массивами цифр, а также будут особенно актуальны в связи с изменением частотных характеристик окружающей среды (пространства) и, соответственно, в информационных технологиях.
математический подход
вариации с ответами умножения
методы умножения
однородные цифры
виртуальность
первая
вторая
третья части ответа
1. Селиверстова И.Ф. О некоторых способах умножения // Научное обозрение. Фундаментальные и прикладные исследования. 2022. № 1; URL: https://scientificreview.ru/ru/article/view?id=100 (дата обращения 02.05.2024).
2. Тихонов Д.А., Селиверстова И.Ф. Занимательная арифметика // Международный студенческий научный вестник. 2018. №5.; URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=18931 (дата обращения 02.05.2024)
3. Лутфулин М.Д., Селиверстова И.Ф. Занимательная арифметика 2 // Международный студенческий научный вестник. 2019. №6.; URL: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=19859 (дата обращения 15.02.2023).
4. Скурлягин А.А. Человечество в преддверии этической катастрофы // Дельфис, №2 (98), 2019. – Стр. 66-76.
5. Дмитриев А.Н. О характере гелиофизических перемен на Земле // Материалы конференции, посвященной 90-летию профессора д.г.-м.н., к.ф.-м.н. А.Н. Дмитриева. Новосибирск, 2023. – Стр.14-20.
6. Дмитриев А.Н. Пришествие эпохи огня / А.Н. Дмитриев, А.В. Русанов. – Новосибирск-Томск : Твердыня, 2004. – 72 с.
7. Дмитриев А.Н. Необходимая организация будущего в связи с плането-физическими переменами // Материалы конференции, посвященной 90-летию профессора д.г.-м.н., к.ф.-м.н. А.Н. Дмитриева. Новосибирск, 2023. – Стр. 194-203.
8. Дмитриев А.Н. Необратимость и жизнь. – Москва : Дельфис, 2023. – 272 с.
9. Дмитриев А.Н. О поиске научных предпочтений / А.Н. Дмитриев, И.Ф. Мингазов, Н.В. Павлова. – Новосибирск : ОФСЕТ, 2018. – 233 с.

Цель статьи: применяя рассмотренные ранее способы нахождения произведения двух сомножителей, указанные в работах [1,2,3], находить ответы произведения при различных вариациях количества однородных периодических цифр первого сомножителя по известному ответу произведения какого-либо одного из них.

Введение

В работе рассматриваются различные методы составления ответов произведения двух сомножителей, вторые из которых неизменны (двучлены, трехчлены, …), а первые могут иметь различные количества однородных цифр, если известен ответ какого-либо одного (базового) из них. Методы нахождения базовых произведений приведены в статье автора «О некоторых способах умножения» [1].

Материалы и методы исследования

В статье используются арифметические и алгебраические методы нахождения различных произведений.

Результаты исследований и их обсуждение

Рассмотрим нахождение произведений, первый сомножитель у которых состоит из девяток, когда при различных количествах , если известно произведение одного из них (*), на один и тот же второй сомножитель.

Примеры:

Дано (*) .

Найти 1) ; 2) ; 3) .

Решение:

1) Решение:, . Для нахождения произведения (1), цифры ответа произведения (*) пошагово суммируем справа налево (результаты каждого шага помещаем в квадрат): ; ; ; ; ?. ?=. Индексы здесь и далее учитываются как обычно. Цифры в ответе, везде в подобных случаях, записываются в обратном порядке, их получения.

Ответ: .

2) Решение: здесь суммирование цифр ответа (*) производится пошагово справа налево в количествах 1, 2, 3, 3, 3, 2, 1. Получим: ; ; ; ?. ?=?. ??; ?=.

Ответ: .

3) Решение: здесь в ответе (*) суммирование цифр производится последовательно в количествах 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 справа налево. Получим:

; ; ; ?. ?=?; ?=13 ?; ?=?; ?=.

Ответ: .

При дальнейшем увеличении числа девяток в первом сомножителе, девятками заполняется средняя часть ответа в количестве .

Пример: 1) . Решение: первая и третья части ответа те же что и в случае . Вторая часть , т. к. . Можно за базовое произведение взять произведение сомножителей, когда .

Пример, (*) .

Найти: 1) ; 2) ; 3) .

1) Решение: . Первая и третья части сохраняются как в (*) в количестве цифр равном 3 каждая (как у наименьшего сомножителя), т.е. 423 – первая, а 763 – третья части ответа. Среднюю часть находим, суммируя цифры: последнюю цифру первой части (6) ответа и первую с третьей части (5), а затем отнимаем от суммы периодическое число, т.е. – средняя часть данного произведения. Итак, ответ: .

2) Решение: , тогда из первая часть ответа – , а третья – (первые и последние двучлены ответа (*)). Найдем среднюю часть. Для этого в ответе (*) суммируем двучлены: последний первой части ответа и первый третьей части, т.е. . От отнимаем периодическое число , но т.к. , то занимаем единицу из предыдущего разряда первой части ответа. Получим , а первая часть ответа будет равна . Итак, ответ: .

3) Решение: . Следовательно, первая и третья части – одночлены – крайние цифры ответа (*), т.е. и . Для нахождения средней части суммируем в (*) (т.к. ) ближайшие к центру трёхчлены и отнимаем . Получим: ; . В этом случае опять занимаем единицу у предыдущего старшего разряда в ответе (*). Получим: , а первая часть ответа становится на единицу меньше: . Итак, ответ: .

Рассмотрим случаи, когда в базовом произведении первый сомножитель может состоять из другого количества девяток:

Примеры:

Дано (*): . Найти: 1) 2) 3)

1) Решение: , . Последняя цифра ответа (*) – сохраняется. А далее от цифр предыдущего разряда отнимаем пошагово предыдущее найденное число. Получим: ; ; ; ; (единицу заняли у предыдущей цифры соседнего разряда); . Ответ: .

2) Решение: здесь можно найти произведение и прибавить его к ответу , учитывая необходимый сдвиг разрядов, т.е.

Можно воспользоваться другими, указанными ранее способами умножения.

3) Решение: здесь самое простое – непосредственно записать ответ по правилу [1]. Получим ответ: . Можно воспользоваться другим способом.

а) Пусть (*) . Найти

Решение: из (*) . Здесь первая и третья части – двучлены, а в искомом произведении четырехчлены. Неизвестные цифры обозначим неизвестными . Тогда искомые части примут вид и – первая и третья части ответа, а среднее число (виртуальное) искомого произведения – . Тогда

то есть ; ; ; . Искомый ответ: (средней части нет).

б) Пусть (*) . Найти Решение: здесь неизвестны две цифры искомого ответа – последняя в первой части и первая в – третьей. Обозначим их соответственно и , т.е. – первая часть ответа, а – третья часть. Средняя часть ответа (виртуальное) тогда

то есть ; . Получим: первая часть ответа , третья – , а , средней части нет. Итак, ответ: .

Пусть дано . Найти Решение: в этом случае от результата произведения (*) надо отнять результат , расположив советующим образом порядки, а именно:

. Или просто применить обычные правила умножения [1], где действия производятся главным образом с двумя сомножителями: , – средняя часть ответа. А произведение, когда (девятке) можно быстро подсчитать разными способами. Наиболее удобный – разделение на десятки и единицы (способ 7, [1]).

Пример: найти Умножая каждую цифру второго сомножителя, пошагово на 9, десятки и единицы произведения записываем раздельно, получим: , следовательно, первая и третья части ответа – одночлены. Выделим их: . Итак, ответ: .

В работе [3] рассмотрены случаи нахождения ответов промежуточных произведений по базовым произведениям с и с при одном и том же втором сомножителе (произвольном), а первый может состоять из произвольных однородных цифр. Приведем примеры таких произведений и дополним их случаями, когда базовым произведением может быть произвольное из них. Рассмотрим случаи, когда второй сомножитель, главным образом, – трехчлен.

а) Число второй части ответа – без сбоя.

Пусть (*) , здесь впереди добавлен для формализации ответа, в котором количество цифр должно быть равно .

Найти 1) 2) 3)

1) Решение: здесь . Ответ находим пошаговым суммированием соседних цифр ответа (*), начиная (как и везде) с конца. Имеем из (*): ; ?; ?=; . Начало ответа, как обычно, записываем с конца – ответ.

2) Здесь . Производим пошаговое суммирование соседних цифр ответа (*) в количествах , справа налево, а затем слева направо. Получим: ; ?; ? ?. ?= ; ; .

Ответ:

3) В таких случаях всегда проще найти среднюю часть ответа произведения (3) и поместить ее в среднюю часть ответа произведения (2). Средняя часть: – периодическое число, а , следовательно, сбоя нет. Количество цифр в ответе второй части равно , т.е. вторая часть ответа (3) равна первая часть , третья – – из ответа (2) или . Получим ответ: .

Рассмотрим произвольные базовые варианты этих сомножителей:

Дано (*) . Найти 1) 2)

1) Решение: из (*) имеем ; . (здесь единица занята из предыдущего разряда). Его цифра стала ; . Получим – ответ.

2) Решение: из (*) найдем третью часть ответа: – две последние цифры т.к. они совпадают (по наименьшему количеству цифр, входящих в первый сомножитель (*) и ). Затем находим первую цифру третьей части из : . Тогда третья часть ответа (2) – . Первую часть находим как разность второй (виртуальной) и третьей частей, т.е. . Итак, имеем – ответ.

Можно применить другой способ. Ответ произведения (*) содержит крайние (внешние) двучлены первой и третьей части ответа (2)Для формализации трехчленов ответа (2) введем неизвестные и , т.е. первая часть , а третья – . Их сумма должна равняться среднему числу ответа , т. е.

; 1 – заняли у предыдущего разряда среднего числа ответа, а . Получим: первая часть – , третья часть – . Ответ: .

Рассмотрим ход процесса в обратном порядке. Дано (*)1 . Найти 1) 2) Средняя часть в (*)1 – – без сбоя.

Решение: перейдем от (*)1 к (*)2, где (убрали среднюю часть из (*)1). Дано (*)2 . Найти 1) 2) Решение. Здесь – 7 первая цифра третьей части ответа (*)1 – 748. Чтобы найти первую часть ответа суммируем в (*)2 первую часть и первую цифру третьей части , а затем от результата отнимаем среднее число 7 (так как ), получим: – первая часть ответа. А т.к. , то последние две цифры ответа (*)1 сохраняются. Получим – ответ.

2) Решение: . В ответе здесь сохраняется последняя цифра из (*)2. А т. к. , имеем: , – первая часть ответа. Ответ: .

Пример: Дано (*) . Найти 1) ; 2) ; 3) Средняя часть ответа перемножаемых сомножителей – со сбоем.

1) Решение: ответ находим методом пошагового суммирования соседних цифр (*) справа налево: из (*) последняя цифра 2 неизменна (). Получим: ; ?; ? ?. ? ?; ? = . Ответ: .

2) Аналогично ранее указанному, метод суммирования производится справа налево в порядке 1, 2, 3, а затем слева направо в порядке 3, 2, 1. Получим: ; ?; ? ?. ? ?; ?. ?=. Ответ: .

В этом случае () получим две части ответа: первую – и третью – . Средняя часть равно , т.к. . Дальнейшее увеличении приведет к появлению чисел второй части в количестве, равном . Так как в этом случае имеет место сбой, то сначала во второй части ответа появляется цифра сбоя и одновременно увеличивается на единицу первая часть, а с увеличением пошагово увеличивается количество периодических цифр второй части ответа. Итак, можем записать: , здесь средняя часть ответа – число сбоя (), , средняя часть и т.д. Первая часть увеличивается на единицу начиная с , т.е. .

Зная ответ для , всегда автоматически можно его записать для случая .

3) Найдем:

Ответ для случаев можно найти и путем суммирования цифр ответа (*), [1].

Решение: из ответа (*) имеем: ; ?; ??. ? ?; ? (суммируем все цифра ответа (*) дважды, т.к. ) ? ; ?; ?. Тогда получим .

Нахождение ответов произведений с одинаковым вторым сомножителем, когда количество цифр первого сомножителя меньше, чем базового.

Дано (*) . Найти 1) 2)

1) Решение: цифры последней части ответа (*) в количестве , т.е. 12 – не меняются. Затем суммируем первую часть с первой цифрой третьей части (т.к. ) и отнимаем (4 – цифра сбоя, а единица забирается от первой части ответа). Получим: . Тогда ответ: .

2) Решение: из ответа (*) , т.к. , а средняя часть , а так как , то последняя цифра ответа (*) неизменна. Получим ответ: .

Рассмотрим случаи, когда базовым произведением является (*) . Найти 1) 2)

Решение: 1) Здесь применяем метод последовательного вычитания. Последняя цифра из ответа (*) неизменна, т. к. в (1): ; . Здесь, как и всегда в таких случаях единицу занимаем в соседнем предыдущем разряде. ; ; . Ответ: .

2) Решение: чтобы найти первую и третью части ответа при , надо найти по три составляющих их цифры. Из ответа (*) имеем в первой части ответа две первые цифры – , а в третьем две последние – 12. Заменим недостающие цифры неизвестными и , т.е. получим и соответственно и воспользуемся свойством равенства суммы первой и третьей частей ответа среднему числу (в нашем случае – виртуальному):

где , а . Но – однозначное число поэтому число десятков переходит к предыдущему разряду . Получаем: первая часть ответа – , а третья – . Ответ: .

Рассмотрим еще один способ вариации ответов произведений при заданном базовом произведении независимо от наличия сбоя во второй части ответа.

Примеры. Пусть – четырёхзначное число. Рассмотрим произведения: 1) ; 2) ; 3) . Будем выбирать базовым произведением (*) любое из них и находить ответы остальных, используя метод скобок [3].

1) Пусть (*) . Найти 2)

Решение: запишем ответ (*) в виде скобок, полученных пошаговым перемножением на каждую цифру второго сомножителя: – ответ. При получении ответа произведения (2) крайние скобки остаются неизменными. Суммируем цифры двух первых и двух последних скобок: и . Располагаем и между крайними двучленами и . Затем суммируем цифры двух внутренних скобок и результат помещаем в середине: (суммируя пошагово) – ответ.

Чтобы пойти обратным путем (от к , ответ произведения (2) записываем в виде скобок: . Затем удаляем среднюю скобку, а в соседних (справа и слева от нее) записываем разность цифр второй и первой скобок слева и третьей и четвертой – справа, т.е. и Крайние скобки – без перемен. Получим – ответ.

2) Дано (*) . Найти 1)

Решение: записываем ответ произведения (*) в виде скобок: . Далее суммируем цифры скобок в последовательности: слева направо в количествах 1, 2, 3, а затем справа налево в количествах 3, 2, 1. Получим:

(переходим к двучленам) еще раз пошагово суммируем справа налево – ответ.

В случае обратного перехода (от к ) из ответа в виде скобок для произведения (2), т. е. , получаем:

,

далее удаляем скобки, в которых умножается на сумму трех цифр. Получим , а затем, вместо второй скобки, записываем разность цифр второй и первой скобок , а вместо третьей – разность цифр третьей и четвертой скобок, т.е. . Получим: – ответ.

3) Дано (*) . Найти 2)

Решение: записываем ответ произведения (*) в виде скобок:

.

Удаляем произведения с суммой трех цифр и , получим . Среднюю скобку для полученного выражения можно найти как разность цифр третьей и первой скобок произведения (*) или четвертой и шестой скобок, т. к. . Скобку помещаем в середину скобок, полученных после удаления произведений трех слагаемых. Получим – ответ.

Чтобы перейти от ответа произведения с к ответу произведения с надо последовательно просуммировать цифры третьей и первой скобок, а затем третьей и пятой и записать их как третью и четвертую скобки в окончательное выражение. Получим (переходим к двучленам в скобках) (пошагово суммируем) – ответ.

При необходимости на практике можно использовать любой из этих методов.

Методы могут быть полезны при проведении расчётов с большими массивами данных (в торговых операциях, научных исследованиях и так далее), особенно в связи с изменениями, идущими сейчас в процессе Великого Перехода [4,5] и, в частности, с выходом из строя связи, всех высокочастотных технологических изделий [6-9].

Заключение

Указанные методы расширяют возможности нахождения произведений двух сомножителей в случаях, когда первый сомножитель состоит из различного количества однородных цифр, а второй – из произвольных, но неизменных цифр в каждой группе преобразования.


Библиографическая ссылка

Селиверстова И.Ф. О ВАРИАЦИЯХ С ОТВЕТАМИ ПРОИЗВЕДЕНИЙ // Научное обозрение. Фундаментальные и прикладные исследования. – 2024. – № 1. ;
URL: https://scientificreview.ru/ru/article/view?id=117 (дата обращения: 07.12.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674