О «числе» и его производных.
1. Введение.
Что известно о числе ?
Из Википедии – свободной энциклопедии узнаём, что:
«Число - основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Иногда его называют числом Эйлера или числом Непера».
Приводится «первые тысяча знаков после запятой числа :
2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354».
В настоящее время известно свыше триллиона точных знаков после запятой.
Считается, что впервые нашёл это число Якоб Бернулли, решая задачу о сложных процентах в 1690 году.
Правда, ранее был Непер, Ньютон, Лейбниц, который называл это число буквой “b”.
Букву “e” применил Эйлер в 1737 году. Он и вычислил это число с точностью до 8 знака после запятой: 2,718281828.
Для запоминания: два и семь, дважды дата рождения Льва Толстого, углы прямоугольного треугольника: 45°, 90° и 45°.
В моём компьютере всего лишь тринадцать точных знаков после запятой: 2,718281828459050, - но, думаю, для расчётов этого вполне достаточно, ведь логарифмическая линейка имеет точность всего три знака.
Число можно определить различными способами:
1. как сумму ряда:
.
2. через предел (второй замечательный предел):
;
Благодаря тому, что и
, число
является краеугольным камнем в математическом анализе.
Но так ли это в действительности?
Проверке этих общепринятых значений и посвящена данная работа.
2. Число , как сумма ряда:
.
, или:
Считается, что первым, кто просуммировал этот ряд и получил результат, был Исаак Ньютон в 1665 году. И, действительно, Тейлор и Маклорен появились на свет значительно позже. Но, как не странно, формулы разложения функций в степенные ряды носят их имена, в отличие от Ньютона, именем которого названа совсем другая формула: бином Ньютона: или в нашем случае:
, - то есть сумма двух чисел в любой степени.
Примечание: в отличие от общепринятых обозначений, целые числа будут писаться с большой буквы N, с маленькой буквой n – любые действительные числа.
Посчитаем, к чему стремится сумма ряда: .
где N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, … , ∞.
.
Расчёты будем вести в табличной форме.
В нашем случае каждое последующее Nn + 1 будет образовываться от предыдущего Nn прибавлением единицы:
Nn+1 = Nn + 1
Таблица 1.
N |
N! |
1 / N! |
E |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
0,5 |
2,5 |
3 |
6 |
0,166666667 |
2,666666666666670 |
4 |
24 |
0,041666667 |
2,708333333333330 |
5 |
120 |
0,008333333 |
2,716666666666670 |
6 |
720 |
0,001388889 |
2,718055555555560 |
7 |
5040 |
0,000198413 |
2,718253968253970 |
8 |
40320 |
2,48016E-05 |
2,718278769841270 |
9 |
362880 |
2,75573E-06 |
2,718281525573190 |
10 |
3628800 |
2,75573E-07 |
2,718281801146380 |
11 |
39916800 |
2,50521E-08 |
2,718281826198490 |
12 |
479001600 |
2,08768E-09 |
2,718281828286170 |
13 |
6227020800 |
1,6059E-10 |
2,718281828446760 |
14 |
87178291200 |
1,14707E-11 |
2,718281828458230 |
15 |
1,30767E+12 |
7,64716E-13 |
2,718281828458990 |
16 |
2,09228E+13 |
4,77948E-14 |
2,718281828459040 |
17 |
3,55687E+14 |
2,81146E-15 |
2,718281828459050 |
18 |
6,40237E+15 |
1,56192E-16 |
2,718281828459050 |
19 |
1,21645E+17 |
8,22064E-18 |
2,718281828459050 |
20 |
2,4329E+18 |
4,11032E-19 |
2,718281828459050 |
21 |
5,10909E+19 |
1,95729E-20 |
2,718281828459050 |
22 |
1,124E+21 |
8,89679E-22 |
2,718281828459050 |
23 |
2,5852E+22 |
3,86817E-23 |
2,718281828459050 |
24 |
6,20448E+23 |
1,61174E-24 |
2,718281828459050 |
25 |
1,55112E+25 |
6,44695E-26 |
2,718281828459050 |
26 |
4,03291E+26 |
2,4796E-27 |
2,718281828459050 |
27 |
1,08889E+28 |
9,18369E-29 |
2,718281828459050 |
28 |
3,04888E+29 |
3,27989E-30 |
2,718281828459050 |
29 |
8,84176E+30 |
1,131E-31 |
2,718281828459050 |
30 |
2,65253E+32 |
3,76999E-33 |
2,718281828459050 |
Таким образом, при числе N, равном 17, значение суммы ряда:
= 2,718281828459050, - то есть равно общепринятому значению числа
. Таким образом, сумма ряда:
действительно стремится к числу и имеет предел, который и называется числом
. Следовательно, число
- есть.
На основании данных таблицы 1 представим график 1.
График 1.
3. Второй замечательный предел и число .
В любом курсе по высшей математике доказывается, что предел числовой последовательности , заключён между двумя числами: 2 и 3, то есть, -
.
Считается, что значение этого предела при n → ∞ и есть число .
,
где N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, … , ∞.
3.1. Вычисление второго замечательного предела при различных значениях чисел N.
Считаем, что 2,718281828459050.
Расчёты будем вести в табличной форме.
Каждое последующее Nn + 1 будет образовываться удвоением от предыдущего Nn :
Nn+1 = 2 * Nn .
Для каждого Nn существует значение
при N → ∞ , E →
, и в пределе E =
.
Таблица 2.
N |
|
|
Δ |
1 |
2,718281828 |
2 |
0,718281828 |
2 |
2,718281828 |
2,25 |
0,468281828 |
4 |
2,718281828 |
2,44140625 |
0,276875578 |
8 |
2,718281828 |
2,565784514 |
0,152497315 |
16 |
2,718281828 |
2,637928497 |
0,080353331 |
32 |
2,718281828 |
2,676990129 |
0,041291699 |
64 |
2,718281828 |
2,697344953 |
0,020936876 |
128 |
2,718281828 |
2,70773902 |
0,010542809 |
256 |
2,718281828 |
2,712991624 |
0,005290204 |
512 |
2,718281828 |
2,715632 |
0,002649828 |
1024 |
2,718281828 |
2,716955729 |
0,001326099 |
2048 |
2,718281828 |
2,717618482 |
0,000663346 |
4096 |
2,718281828 |
2,717950081 |
0,000331747 |
8192 |
2,718281828 |
2,718115936 |
0,000165892 |
16384 |
2,718281828 |
2,718198878 |
8,29507E-05 |
32768 |
2,718281828 |
2,718240352 |
4,14765E-05 |
65536 |
2,718281828 |
2,71826109 |
2,07386E-05 |
131072 |
2,718281828 |
2,718271459 |
1,03694E-05 |
262144 |
2,718281828 |
2,718276644 |
5,18469E-06 |
524288 |
2,718281828 |
2,718279236 |
2,59234E-06 |
1048576 |
2,718281828 |
2,718280532 |
1,29618E-06 |
2097152 |
2,718281828 |
2,71828118 |
6,48095E-07 |
4194304 |
2,718281828 |
2,718281504 |
3,2406E-07 |
8388608 |
2,718281828 |
2,718281666 |
1,62038E-07 |
16777216 |
2,718281828 |
2,718281747 |
8,10322E-08 |
33554432 |
2,718281828 |
2,718281788 |
4,05267E-08 |
67108864 |
2,718281828 |
2,718281808 |
2,02766E-08 |
134217728 |
2,718281828 |
2,718281808 |
2,02766E-08 |
268435456 |
2,718281828 |
2,718281808 |
2,02766E-08 |
536870912 |
2,718281828 |
2,718281808 |
2,02766E-08 |
1073741824 |
2,718281828 |
2,718281808 |
2,02766E-08 |
2147483648 |
2,718281828 |
2,718281808 |
2,02766E-08 |
4294967296 |
2,718281828 |
2,718281828 |
3,1645E-10 |
8589934592 |
2,718281828 |
2,718281828 |
1,58225E-10 |
17179869184 |
2,718281828 |
2,718281828 |
7,91123E-11 |
34359738368 |
2,718281828 |
2,718281828 |
3,95559E-11 |
68719476736 |
2,718281828 |
2,718281828 |
1,9778E-11 |
1,37439E+11 |
2,718281828 |
2,718281828 |
9,88898E-12 |
2,74878E+11 |
2,718281828 |
2,718281828 |
4,94449E-12 |
5,49756E+11 |
2,718281828 |
2,718281828 |
2,47224E-12 |
1,09951E+12 |
2,718281828 |
2,718281828 |
1,2359E-12 |
2,19902E+12 |
2,718281828 |
2,718281828 |
6,17728E-13 |
4,39805E+12 |
2,718281828 |
2,718281828 |
3,09086E-13 |
8,79609E+12 |
2,718281828 |
2,718281828 |
1,54543E-13 |
1,75922E+13 |
2,718281828 |
2,718281828 |
7,72715E-14 |
3,51844E+13 |
2,718281828 |
2,718281828 |
3,86358E-14 |
7,03687E+13 |
2,718281828 |
2,718281828 |
1,90958E-14 |
1,40737E+14 |
2,718281828 |
2,718281828 |
9,32587E-15 |
2,81475E+14 |
2,718281828 |
2,718281828 |
4,88498E-15 |
5,6295E+14 |
2,718281828 |
2,718281828 |
0 |
1,1259E+15 |
2,718281828 |
2,718281828 |
0 |
2,2518E+15 |
2,718281828 |
2,718281828 |
0 |
4,5036E+15 |
2,718281828 |
2,718281828 |
0 |
9,0072E+15 |
2,718281828 |
1 |
1,718281828 |
1,80144E+16 |
2,718281828 |
1 |
1,718281828 |
Примечание: красным цветом выделены значения E = 1.
При значении N = 5,6295E+14, E = = 2,718281828459050.
Таким образом, можно утверждать, что бесконечность начинается с числа N ≥ 5,6295E+14, ведь при таком значении N второй замечательный предел: .
Но при значении N≥ 9,0072E+15, , что не равно числу
.
Почему значения E получились такими?
Самое простое объяснение такое: , то есть значение в скобках:
при N= 9,0072E+15 становится равным единице, а должно быть больше единицы, значит, так заложено в программном обеспечении компьютера или зависит от мощности компьютера, что уже само по себе неверно. Ниже будет дано объяснение этому явлению.
Но как бы там ни было, значение бесконечности распространяется до N≤ 9,0072E+15.
При числах N≥ 9,0072E+15, именно в бесконечности, второй замечательный предел становится равным единице.
На основании данных таблицы 2, представлен график 2.
График 2.
Проверим полученный результат при нескольких вариантах значения чисел:
числа N2 образуются при помощи умножения каждого предыдущего числа на 2, числа N3 - на 3, числа N5 - на 5, числа N7 - на 7.
Соответственно, по формуле вычисляются значения E2 для чисел N2, E3 для чисел N3, E5 для чисел N5, E7 для чисел N7.
Данные представлены в таблице 3.
Таблица 3.
N2 |
N3 |
N5 |
N7 |
E2 |
E3 |
E5 |
E7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
3 |
5 |
7 |
2,25 |
2,37037 |
2,48832 |
2,5465 |
4 |
9 |
25 |
49 |
2,441406 |
2,581175 |
2,665836 |
2,691053 |
8 |
27 |
125 |
343 |
2,565785 |
2,669594 |
2,707488 |
2,71433 |
16 |
81 |
625 |
2401 |
2,637928 |
2,70169 |
2,71611 |
2,717716 |
32 |
243 |
3125 |
16807 |
2,67699 |
2,71271 |
2,717847 |
2,718201 |
64 |
729 |
15625 |
117649 |
2,697345 |
2,71642 |
2,718195 |
2,71827 |
128 |
2187 |
78125 |
823543 |
2,707739 |
2,717661 |
2,718264 |
2,71828 |
256 |
6561 |
390625 |
5764801 |
2,712992 |
2,718075 |
2,718278 |
2,718282 |
512 |
19683 |
2E+06 |
4E+07 |
2,715632 |
2,718213 |
2,718281 |
2,718282 |
1024 |
59049 |
1E+07 |
2,8E+08 |
2,716956 |
2,718259 |
2,718282 |
2,718282 |
2048 |
177147 |
5E+07 |
2E+09 |
2,717618 |
2,718274 |
2,718282 |
2,718281 |
4096 |
531441 |
2E+08 |
1,4E+10 |
2,71795 |
2,718279 |
2,718282 |
2,718279 |
8192 |
1594323 |
1E+09 |
9,7E+10 |
2,718116 |
2,718281 |
2,718282 |
2,718279 |
16384 |
4782969 |
6E+09 |
6,8E+11 |
2,718199 |
2,718282 |
2,718283 |
2,718162 |
32768 |
1,4E+07 |
3E+10 |
4,7E+12 |
2,71824 |
2,718282 |
2,718283 |
2,71939 |
65536 |
4,3E+07 |
2E+11 |
3,3E+13 |
2,718261 |
2,718282 |
2,718301 |
2,728004 |
131072 |
1,3E+08 |
8E+11 |
2,3E+14 |
2,718271 |
2,718282 |
2,718301 |
2,668276 |
262144 |
3,9E+08 |
4E+12 |
1,6E+15 |
2,718277 |
2,718282 |
2,719222 |
2,958674 |
524288 |
1,2E+09 |
2E+13 |
1,1E+16 |
2,718279 |
2,718282 |
2,71692 |
1 |
1048576 |
3,5E+09 |
1E+14 |
8E+16 |
2,718281 |
2,718282 |
2,705438 |
1 |
2097152 |
1E+10 |
5E+14 |
5,6E+17 |
2,718281 |
2,718282 |
2,59325 |
1 |
4194304 |
3,1E+10 |
2E+15 |
3,9E+18 |
2,718282 |
2,718276 |
2,882884 |
1 |
8388608 |
9,4E+10 |
1E+16 |
2,7E+19 |
2,718282 |
2,718295 |
1 |
1 |
16777216 |
2,8E+11 |
6E+16 |
1,9E+20 |
2,718282 |
2,718295 |
1 |
1 |
33554432 |
8,5E+11 |
3E+17 |
1,3E+21 |
2,718282 |
2,718124 |
1 |
1 |
67108864 |
2,5E+12 |
1E+18 |
9,4E+21 |
2,718282 |
2,718636 |
1 |
1 |
1,34E+08 |
7,6E+12 |
7E+18 |
6,6E+22 |
2,718282 |
2,720171 |
1 |
1 |
2,68E+08 |
2,3E+13 |
4E+19 |
4,6E+23 |
2,718282 |
2,720171 |
1 |
1 |
5,37E+08 |
6,9E+13 |
2E+20 |
3,2E+24 |
2,718282 |
2,734023 |
1 |
1 |
1,07E+09 |
2,1E+14 |
9E+20 |
2,3E+25 |
2,718282 |
2,734023 |
1 |
1 |
2,15E+09 |
6,2E+14 |
5E+21 |
1,6E+26 |
2,718282 |
2,611846 |
1 |
1 |
4,29E+09 |
1,9E+15 |
2E+22 |
1,1E+27 |
2,718282 |
2,277108 |
1 |
1 |
8,59E+09 |
5,6E+15 |
1E+23 |
7,7E+27 |
2,718282 |
3,436177 |
1 |
1 |
1,72E+10 |
1,7E+16 |
6E+23 |
5,4E+28 |
2,718282 |
1 |
1 |
1 |
3,44E+10 |
5E+16 |
3E+24 |
3,8E+29 |
2,718282 |
1 |
1 |
1 |
6,87E+10 |
1,5E+17 |
1E+25 |
2,7E+30 |
2,718282 |
1 |
1 |
1 |
1,37E+11 |
4,5E+17 |
7E+25 |
1,9E+31 |
2,718282 |
1 |
1 |
1 |
2,75E+11 |
1,4E+18 |
4E+26 |
1,3E+32 |
2,718282 |
1 |
1 |
1 |
5,5E+11 |
4,1E+18 |
2E+27 |
9,1E+32 |
2,718282 |
1 |
1 |
1 |
1,1E+12 |
1,2E+19 |
9E+27 |
6,4E+33 |
2,718282 |
1 |
1 |
1 |
2,2E+12 |
3,6E+19 |
5E+28 |
4,5E+34 |
2,718282 |
1 |
1 |
1 |
4,4E+12 |
1,1E+20 |
2E+29 |
3,1E+35 |
2,718282 |
1 |
1 |
1 |
8,8E+12 |
3,3E+20 |
1E+30 |
2,2E+36 |
2,718282 |
1 |
1 |
1 |
1,76E+13 |
9,8E+20 |
6E+30 |
1,5E+37 |
2,718282 |
1 |
1 |
1 |
3,52E+13 |
3E+21 |
3E+31 |
1,1E+38 |
2,718282 |
1 |
1 |
1 |
7,04E+13 |
8,9E+21 |
1E+32 |
7,5E+38 |
2,718282 |
1 |
1 |
1 |
1,41E+14 |
2,7E+22 |
7E+32 |
5,2E+39 |
2,718282 |
1 |
1 |
1 |
2,81E+14 |
8E+22 |
4E+33 |
3,7E+40 |
2,718282 |
1 |
1 |
1 |
5,63E+14 |
2,4E+23 |
2E+34 |
2,6E+41 |
2,718282 |
1 |
1 |
1 |
1,13E+15 |
7,2E+23 |
9E+34 |
1,8E+42 |
2,718282 |
1 |
1 |
1 |
2,25E+15 |
2,2E+24 |
4E+35 |
1,3E+43 |
2,718282 |
1 |
1 |
1 |
4,5E+15 |
6,5E+24 |
2E+36 |
8,8E+43 |
2,718282 |
1 |
1 |
1 |
9,01E+15 |
1,9E+25 |
1E+37 |
6,2E+44 |
1 |
1 |
1 |
Примечание: жёлтым цветом выделены значения E > , красным цветом - значения E = 1.
На основании данных таблицы 3 представлен график 3.
График 3.
Данные таблицы 2 подтверждают, что при значении N2 ≥ 9,01E+15, значения E2 = 1,
N3 ≥ 1,7E+16; значения E3 = 1;
N5 ≥ 1E+16, значения E5 = 1;
N7 ≥ 1,16E+16, значения E7 = 1.
Значения E3 , E5 и E7 не стремятся к числу , как своему пределу, а имеют свои пределы.
Только значения E2 стремятся к числу , при N = 5,6295E+14 становятся числом
, но уже при N2 ≥ 9,01E+15, перестают им быть и становятся равным единице.
Таким образом, второй замечательный предел не имеет предела, равного числу .
Для проверки этого вывода, вычислим значения E по формуле , где числа N, начиная с N = 10000000000 (1010) будут увеличиваться на 1000000000 (109).
Таблица 4.
N |
|
E = (1 + 1 / N ) ^ N |
Δ = |
(1 + 1 / N ) n / |
1 |
2,718281828 |
2 |
0,7182818284590 |
0,735758882 |
10 |
2,718281828 |
2,59374246 |
0,1245393683590 |
0,954184527 |
100 |
2,718281828 |
2,704813829 |
0,0134679990375 |
0,9950454 |
1000 |
2,718281828 |
2,716923932 |
0,0013578962235 |
0,999500458 |
10000 |
2,718281828 |
2,718145927 |
0,0001359016347 |
0,999950005 |
100000 |
2,718281828 |
2,718268237 |
0,0000135912615 |
0,999995 |
1000000 |
2,718281828 |
2,718280469 |
0,0000013593026 |
0,9999995 |
10000000 |
2,718281828 |
2,718281694 |
0,0000001344787 |
0,999999951 |
100000000 |
2,718281828 |
2,718281786 |
0,0000000420632 |
0,999999985 |
1E+09 |
2,718281828 |
2,718282031 |
-0,0000002023555 |
1,000000074 |
1E+10 |
2,718281828 |
2,718282053 |
-0,0000002247757 |
1,000000083 |
2E+10 |
2,718281828 |
2,718282053 |
-0,0000002248437 |
1,000000083 |
3E+10 |
2,718281828 |
2,718282053 |
-0,0000002248664 |
1,000000083 |
4E+10 |
2,718281828 |
2,718282053 |
-0,0000002248777 |
1,000000083 |
5E+10 |
2,718281828 |
2,718282053 |
-0,0000002248845 |
1,000000083 |
6E+10 |
2,718281828 |
2,718282053 |
-0,0000002248890 |
1,000000083 |
7E+10 |
2,718281828 |
2,718276018 |
0,0000058108997 |
0,999997862 |
8E+10 |
2,718281828 |
2,718282053 |
-0,0000002248947 |
1,000000083 |
9E+10 |
2,718281828 |
2,718282053 |
-0,0000002248966 |
1,000000083 |
1E+11 |
2,718281828 |
2,718282053 |
-0,0000002248981 |
1,000000083 |
2E+11 |
2,718281828 |
2,718282053 |
-0,0000002249049 |
1,000000083 |
3E+11 |
2,718281828 |
2,718282053 |
-0,0000002249071 |
1,000000083 |
4E+11 |
2,718281828 |
2,718282053 |
-0,0000002249083 |
1,000000083 |
5E+11 |
2,718281828 |
2,718221696 |
0,0000601324074 |
0,999977879 |
6E+11 |
2,718281828 |
2,718282053 |
-0,0000002249094 |
1,000000083 |
7E+11 |
2,718281828 |
2,718402772 |
-0,0001209435631 |
1,000044493 |
8E+11 |
2,718281828 |
2,718040632 |
0,0002411963145 |
0,999911269 |
9E+11 |
2,718281828 |
2,718282053 |
-0,0000002249101 |
1,000000083 |
1E+12 |
2,718281828 |
2,718523496 |
-0,0002416675782 |
1,000088905 |
2E+12 |
2,718281828 |
2,718523496 |
-0,0002416675789 |
1,000088905 |
3E+12 |
2,718281828 |
2,71791993 |
0,0003618988847 |
0,999866865 |
4E+12 |
2,718281828 |
2,718523496 |
-0,0002416675792 |
1,000088905 |
5E+12 |
2,718281828 |
2,719127197 |
-0,0008453680767 |
1,000310994 |
6E+12 |
2,718281828 |
2,719731031 |
-0,0014492026374 |
1,000533132 |
7E+12 |
2,718281828 |
2,716713199 |
0,0015686298305 |
0,999422933 |
8E+12 |
2,718281828 |
2,718523496 |
-0,0002416675794 |
1,000088905 |
9E+12 |
2,718281828 |
2,716110034 |
0,0021717943722 |
0,999201042 |
1E+13 |
2,718281828 |
2,716110034 |
0,0021717943721 |
0,999201042 |
2E+13 |
2,718281828 |
2,716110034 |
0,0021717943721 |
0,999201042 |
3E+13 |
2,718281828 |
2,716110034 |
0,0021717943721 |
0,999201042 |
4E+13 |
2,718281828 |
2,728198808 |
-0,0099169798205 |
1,003648253 |
5E+13 |
2,718281828 |
2,716110034 |
0,0021717943720 |
0,999201042 |
6E+13 |
2,718281828 |
2,716110034 |
0,0021717943720 |
0,999201042 |
7E+13 |
2,718281828 |
2,704074826 |
0,0142070026510 |
0,994773536 |
8E+13 |
2,718281828 |
2,704074826 |
0,0142070026510 |
0,994773536 |
9E+13 |
2,718281828 |
2,716110034 |
0,0021717943720 |
0,999201042 |
1E+14 |
2,718281828 |
2,716110034 |
0,0021717943720 |
0,999201042 |
2E+14 |
2,718281828 |
2,777094348 |
-0,0588125198594 |
1,021635917 |
3E+14 |
2,718281828 |
2,716110034 |
0,0021717943720 |
0,999201042 |
4E+14 |
2,718281828 |
2,656464921 |
0,0618169079441 |
0,97725883 |
5E+14 |
2,718281828 |
2,716110034 |
0,0021717943720 |
0,999201042 |
6E+14 |
2,718281828 |
2,903201529 |
-0,1849197007248 |
1,068028156 |
7E+14 |
2,718281828 |
2,541075307 |
0,1772065213851 |
0,934809364 |
8E+14 |
2,718281828 |
2,903201529 |
-0,1849197007248 |
1,068028156 |
9E+14 |
2,718281828 |
2,716110034 |
0,0021717943720 |
0,999201042 |
1E+15 |
2,718281828 |
3,035035207 |
-0,3167533780902 |
1,116527056 |
2E+15 |
2,718281828 |
2,430697905 |
0,2875839237530 |
0,894203787 |
3E+15 |
2,718281828 |
3,789627122 |
-1,0713452935126 |
1,394125908 |
4E+15 |
2,718281828 |
2,430697905 |
0,2875839237530 |
0,894203787 |
5E+15 |
2,718281828 |
3,035035207 |
-0,3167533780902 |
1,116527056 |
6E+15 |
2,718281828 |
3,789627122 |
-1,0713452935126 |
1,394125908 |
7E+15 |
2,718281828 |
4,731831016 |
-2,0135491870735 |
1,74074335 |
8E+15 |
2,718281828 |
5,908292304 |
-3,1900104754832 |
2,173539271 |
9E+15 |
2,718281828 |
7,377253717 |
-4,6589718888092 |
2,713939975 |
1E+16 |
2,718281828 |
1 |
1,7182818284591 |
0,367879441 |
1E+17 |
2,718281828 |
1 |
1,7182818284591 |
0,367879441 |
Примечание: жёлтым цветом выделены значения E > , красным цветом - значения E = 1.
На основании данных таблицы 4 представлены графики 4, 5 и 6.
График 4.
График 5.
График 6.
3.2. Проверка значений второго замечательного предела при помощи логарифмов.
Для проверки полученных значений второго замечательного предела проверим полученные значения при помощи логарифмов: по основанию 2 и основанию (натуральных логарифмов).
Таблица 5.
N |
|
|
|
|
1 |
2,718281828 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2,718281828 |
2,25 |
2,25 |
2,25 |
3 |
2,718281828 |
2,37037037 |
2,37037037 |
2,37037037 |
4 |
2,718281828 |
2,44140625 |
2,44140625 |
2,44140625 |
5 |
2,718281828 |
2,48832 |
2,48832 |
2,48832 |
6 |
2,718281828 |
2,521626372 |
2,521626372 |
2,521626372 |
7 |
2,718281828 |
2,546499697 |
2,546499697 |
2,546499697 |
8 |
2,718281828 |
2,565784514 |
2,565784514 |
2,565784514 |
9 |
2,718281828 |
2,581174792 |
2,581174792 |
2,581174792 |
10 |
2,718281828 |
2,59374246 |
2,59374246 |
2,59374246 |
20 |
2,718281828 |
2,653297705 |
2,653297705 |
2,653297705 |
30 |
2,718281828 |
2,674318776 |
2,674318776 |
2,674318776 |
40 |
2,718281828 |
2,685063838 |
2,685063838 |
2,685063838 |
50 |
2,718281828 |
2,691588029 |
2,691588029 |
2,691588029 |
60 |
2,718281828 |
2,695970139 |
2,695970139 |
2,695970139 |
70 |
2,718281828 |
2,699116371 |
2,699116371 |
2,699116371 |
80 |
2,718281828 |
2,701484941 |
2,701484941 |
2,701484941 |
90 |
2,718281828 |
2,703332461 |
2,703332461 |
2,703332461 |
100 |
2,718281828 |
2,704813829 |
2,704813829 |
2,704813829 |
200 |
2,718281828 |
2,711517123 |
2,711517123 |
2,711517123 |
300 |
2,718281828 |
2,713765158 |
2,713765158 |
2,713765158 |
400 |
2,718281828 |
2,714891744 |
2,714891744 |
2,714891744 |
500 |
2,718281828 |
2,715568521 |
2,715568521 |
2,715568521 |
600 |
2,718281828 |
2,716020049 |
2,716020049 |
2,716020049 |
700 |
2,718281828 |
2,716342738 |
2,716342738 |
2,716342738 |
800 |
2,718281828 |
2,716584847 |
2,716584847 |
2,716584847 |
900 |
2,718281828 |
2,716773208 |
2,716773208 |
2,716773208 |
1000 |
2,718281828 |
2,716923932 |
2,716923932 |
2,716923932 |
2000 |
2,718281828 |
2,717602569 |
2,717602569 |
2,717602569 |
3000 |
2,718281828 |
2,71782892 |
2,71782892 |
2,71782892 |
4000 |
2,718281828 |
2,717942121 |
2,717942121 |
2,717942121 |
5000 |
2,718281828 |
2,71801005 |
2,71801005 |
2,71801005 |
6000 |
2,718281828 |
2,71805534 |
2,71805534 |
2,71805534 |
7000 |
2,718281828 |
2,718087691 |
2,718087691 |
2,718087691 |
8000 |
2,718281828 |
2,718111955 |
2,718111955 |
2,718111955 |
9000 |
2,718281828 |
2,718130828 |
2,718130828 |
2,718130828 |
10000 |
2,718281828 |
2,718145927 |
2,718145927 |
2,718145927 |
20000 |
2,718281828 |
2,718213875 |
2,718213875 |
2,718213875 |
30000 |
2,718281828 |
2,718236525 |
2,718236525 |
2,718236525 |
40000 |
2,718281828 |
2,718247851 |
2,718247851 |
2,718247851 |
50000 |
2,718281828 |
2,718254646 |
2,718254646 |
2,718254646 |
60000 |
2,718281828 |
2,718259176 |
2,718259177 |
2,718259176 |
70000 |
2,718281828 |
2,718262412 |
2,718262413 |
2,718262413 |
80000 |
2,718281828 |
2,718264839 |
2,718264839 |
2,71826484 |
90000 |
2,718281828 |
2,718266727 |
2,718266727 |
2,718266727 |
100000 |
2,718281828 |
2,718268237 |
2,718268238 |
2,718268237 |
200000 |
2,718281828 |
2,718275033 |
2,718275033 |
2,718275033 |
300000 |
2,718281828 |
2,718277298 |
2,718277298 |
2,718277298 |
400000 |
2,718281828 |
2,71827843 |
2,718278432 |
2,71827843 |
500000 |
2,718281828 |
2,71827911 |
2,71827911 |
2,71827911 |
600000 |
2,718281828 |
2,718279563 |
2,718279567 |
2,718279565 |
700000 |
2,718281828 |
2,718279887 |
2,718279889 |
2,718279888 |
800000 |
2,718281828 |
2,71828013 |
2,718280129 |
2,71828013 |
900000 |
2,718281828 |
2,718280318 |
2,718280318 |
2,718280315 |
1000000 |
2,718281828 |
2,718280469 |
2,718280469 |
2,71828047 |
2000000 |
2,718281828 |
2,718281149 |
2,718281152 |
2,718281155 |
3000000 |
2,718281828 |
2,718281376 |
2,718281366 |
2,718281373 |
4000000 |
2,718281828 |
2,718281489 |
2,7182815 |
2,718281493 |
5000000 |
2,718281828 |
2,718281555 |
2,71828154 |
2,718281546 |
6000000 |
2,718281828 |
2,718281602 |
2,718281607 |
2,71828159 |
7000000 |
2,718281828 |
2,718281634 |
2,718281627 |
2,718281628 |
8000000 |
2,718281828 |
2,718281655 |
2,718281661 |
2,718281667 |
9000000 |
2,718281828 |
2,71828168 |
2,718281668 |
2,718281706 |
10000000 |
2,718281828 |
2,718281694 |
2,718281674 |
2,718281667 |
20000000 |
2,718281828 |
2,718281754 |
2,718281875 |
2,71828186 |
30000000 |
2,718281828 |
2,71828179 |
2,718282009 |
2,718282053 |
40000000 |
2,718281828 |
2,718281803 |
2,718281607 |
2,718281667 |
50000000 |
2,718281828 |
2,718281817 |
2,718281808 |
2,718282053 |
60000000 |
2,718281828 |
2,718281808 |
2,718282009 |
2,718282053 |
70000000 |
2,718281828 |
2,718281836 |
2,718281674 |
2,718281764 |
80000000 |
2,718281828 |
2,718281803 |
2,718281875 |
2,718281667 |
90000000 |
2,718281828 |
2,718281831 |
2,71828221 |
2,718282053 |
100000000 |
2,718281828 |
2,718281786 |
2,718281473 |
2,718281088 |
200000000 |
2,718281828 |
2,718281786 |
2,718282143 |
2,718282053 |
300000000 |
2,718281828 |
2,718281857 |
2,718282812 |
2,718282053 |
400000000 |
2,718281828 |
2,718281786 |
2,718283482 |
2,718283985 |
500000000 |
2,718281828 |
2,718281729 |
2,718281473 |
2,718282053 |
600000000 |
2,718281828 |
2,718281676 |
2,718280804 |
2,718282053 |
700000000 |
2,718281828 |
2,718281922 |
2,718282143 |
2,718281088 |
800000000 |
2,718281828 |
2,718282028 |
2,718280804 |
2,718283985 |
900000000 |
2,718281828 |
2,718282025 |
2,718282812 |
2,718282053 |
1000000000 |
2,718281828 |
2,718282031 |
2,718278126 |
2,718282053 |
2000000000 |
2,718281828 |
2,718282031 |
2,718278126 |
2,718272396 |
3000000000 |
2,718281828 |
2,718282051 |
2,718264739 |
2,718282053 |
4000000000 |
2,718281828 |
2,718282031 |
2,718291514 |
2,718291711 |
5000000000 |
2,718281828 |
2,718282053 |
2,718264739 |
2,718282053 |
6000000000 |
2,718281828 |
2,718282053 |
2,718345066 |
2,718311025 |
7000000000 |
2,718281828 |
2,718280242 |
2,718197801 |
2,718233767 |
8000000000 |
2,718281828 |
2,718282053 |
2,718264739 |
2,718253082 |
9000000000 |
2,718281828 |
2,718282053 |
2,718264739 |
2,718282053 |
1E+10 |
2,718281828 |
2,718282053 |
2,718264739 |
2,718233767 |
2E+10 |
2,718281828 |
2,718282053 |
2,718264739 |
2,71833034 |
3E+10 |
2,718281828 |
2,718282053 |
2,717863136 |
2,718137198 |
4E+10 |
2,718281828 |
2,718282053 |
2,718264739 |
2,71833034 |
5E+10 |
2,718281828 |
2,718282053 |
2,718398619 |
2,718523496 |
6E+10 |
2,718281828 |
2,718282053 |
2,718264739 |
2,718137198 |
7E+10 |
2,718281828 |
2,718276018 |
2,717729282 |
2,718233767 |
8E+10 |
2,718281828 |
2,718282053 |
2,718264739 |
2,718716666 |
9E+10 |
2,718281828 |
2,718282053 |
2,719469903 |
2,718716666 |
1E+11 |
2,718281828 |
2,718282053 |
2,717729282 |
2,717557854 |
2E+11 |
2,718281828 |
2,718282053 |
2,717729282 |
2,717557854 |
3E+11 |
2,718281828 |
2,718282053 |
2,719068122 |
2,717557854 |
4E+11 |
2,718281828 |
2,718282053 |
2,720407622 |
2,715627599 |
5E+11 |
2,718281828 |
2,718221696 |
2,717729282 |
2,718523496 |
6E+11 |
2,718281828 |
2,718282053 |
2,715053578 |
2,717557854 |
7E+11 |
2,718281828 |
2,718402772 |
2,717729282 |
2,717557854 |
8E+11 |
2,718281828 |
2,718040632 |
2,720407622 |
2,719489481 |
9E+11 |
2,718281828 |
2,718282053 |
2,723088602 |
2,72045581 |
1E+12 |
2,718281828 |
2,718523496 |
2,717729282 |
2,723356855 |
2E+12 |
2,718281828 |
2,718523496 |
2,704377082 |
2,704074826 |
3E+12 |
2,718281828 |
2,71791993 |
2,691090481 |
2,723356855 |
4E+12 |
2,718281828 |
2,718523496 |
2,731147405 |
2,74277638 |
5E+12 |
2,718281828 |
2,719127197 |
2,744631777 |
2,752538009 |
6E+12 |
2,718281828 |
2,719731031 |
2,731147405 |
2,723356855 |
7E+12 |
2,718281828 |
2,716713199 |
2,717729282 |
2,704074826 |
8E+12 |
2,718281828 |
2,718523496 |
2,785485663 |
2,704074826 |
9E+12 |
2,718281828 |
2,716110034 |
2,651621061 |
2,694485067 |
1E+13 |
2,718281828 |
2,716110034 |
2,813058871 |
2,704074826 |
2E+13 |
2,718281828 |
2,716110034 |
2,955073509 |
2,903201529 |
3E+13 |
2,718281828 |
2,716110034 |
2,426668306 |
2,60969327 |
4E+13 |
2,718281828 |
2,728198808 |
2,677869158 |
2,704074826 |
5E+13 |
2,718281828 |
2,716110034 |
3,425600329 |
2,903201529 |
6E+13 |
2,718281828 |
2,716110034 |
2,426668306 |
2,903201529 |
7E+13 |
2,718281828 |
2,704074826 |
2,813058871 |
2,704074826 |
8E+13 |
2,718281828 |
2,704074826 |
1,482913235 |
1,765500445 |
9E+13 |
2,718281828 |
2,716110034 |
3,780207392 |
3,592961973 |
1E+14 |
2,718281828 |
2,716110034 |
1,636419615 |
2,035095478 |
2E+14 |
2,718281828 |
2,777094348 |
1 |
1 |
3E+14 |
2,718281828 |
2,716110034 |
19,20295481 |
8,428579119 |
4E+14 |
2,718281828 |
2,656464921 |
7,170983227 |
17,15296325 |
5E+14 |
2,718281828 |
2,716110034 |
11,73473761 |
34,90791795 |
6E+14 |
2,718281828 |
2,903201529 |
1 |
1 |
7E+14 |
2,718281828 |
2,541075307 |
1 |
1 |
8E+14 |
2,718281828 |
2,903201529 |
1 |
1 |
9E+14 |
2,718281828 |
2,716110034 |
7081,156291 |
598,7742338 |
1E+15 |
2,718281828 |
3,035035207 |
1 |
1 |
2E+15 |
2,718281828 |
2,430697905 |
1 |
1 |
3E+15 |
2,718281828 |
3,789627122 |
6,81837E+12 |
1809437884 |
4E+15 |
2,718281828 |
2,430697905 |
1 |
1 |
5E+15 |
2,718281828 |
3,035035207 |
1 |
1 |
6E+15 |
2,718281828 |
3,789627122 |
1 |
1 |
7E+15 |
2,718281828 |
4,731831016 |
1 |
1 |
8E+15 |
2,718281828 |
5,908292304 |
1 |
1 |
9E+15 |
2,718281828 |
7,377253717 |
1 |
1 |
1E+16 |
2,718281828 |
1 |
1 |
1 |
2E+16 |
2,718281828 |
1 |
1 |
1 |
3E+16 |
2,718281828 |
1 |
1 |
1 |
4E+16 |
2,718281828 |
1 |
1 |
1 |
5E+16 |
2,718281828 |
1 |
1 |
1 |
6E+16 |
2,718281828 |
1 |
1 |
1 |
7E+16 |
2,718281828 |
1 |
1 |
1 |
8E+16 |
2,718281828 |
1 |
1 |
1 |
9E+16 |
2,718281828 |
1 |
1 |
1 |
1E+17 |
2,718281828 |
1 |
1 |
1 |
Примечание: жёлтым цветом выделены значения E > , красным цветом - значения E = 1,
синим цветом - значения E < 2.
На основании данных таблицы 5 представим график 7.
График 7.
Для большей наглядности полученных результатов преобразуем данные таблицы 5: выберем интервал чисел N от 1,00E+10 до 2,00E+14, - получим таблицу 6.
Таблица 6.
N |
|
|
|
|
1,00E+10 |
2,718282 |
2,718282 |
2,718265 |
2,718234 |
2,00E+10 |
2,718282 |
2,718282 |
2,718265 |
2,71833 |
3,00E+10 |
2,718282 |
2,718282 |
2,717863 |
2,718137 |
4,00E+10 |
2,718282 |
2,718282 |
2,718265 |
2,71833 |
5,00E+10 |
2,718282 |
2,718282 |
2,718399 |
2,718523 |
6,00E+10 |
2,718282 |
2,718282 |
2,718265 |
2,718137 |
7,00E+10 |
2,718282 |
2,718276 |
2,717729 |
2,718234 |
8,00E+10 |
2,718282 |
2,718282 |
2,718265 |
2,718717 |
9,00E+10 |
2,718282 |
2,718282 |
2,71947 |
2,718717 |
1,00E+11 |
2,718282 |
2,718282 |
2,717729 |
2,717558 |
2,00E+11 |
2,718282 |
2,718282 |
2,717729 |
2,717558 |
3,00E+11 |
2,718282 |
2,718282 |
2,719068 |
2,717558 |
4,00E+11 |
2,718282 |
2,718282 |
2,720408 |
2,715628 |
5,00E+11 |
2,718282 |
2,718222 |
2,717729 |
2,718523 |
6,00E+11 |
2,718282 |
2,718282 |
2,715054 |
2,717558 |
7,00E+11 |
2,718282 |
2,718403 |
2,717729 |
2,717558 |
8,00E+11 |
2,718282 |
2,718041 |
2,720408 |
2,719489 |
9,00E+11 |
2,718282 |
2,718282 |
2,723089 |
2,720456 |
1,00E+12 |
2,718282 |
2,718523 |
2,717729 |
2,723357 |
2,00E+12 |
2,718282 |
2,718523 |
2,704377 |
2,704075 |
3,00E+12 |
2,718282 |
2,71792 |
2,69109 |
2,723357 |
4,00E+12 |
2,718282 |
2,718523 |
2,731147 |
2,742776 |
5,00E+12 |
2,718282 |
2,719127 |
2,744632 |
2,752538 |
6,00E+12 |
2,718282 |
2,719731 |
2,731147 |
2,723357 |
7,00E+12 |
2,718282 |
2,716713 |
2,717729 |
2,704075 |
8,00E+12 |
2,718282 |
2,718523 |
2,785486 |
2,704075 |
9,00E+12 |
2,718282 |
2,71611 |
2,651621 |
2,694485 |
1,00E+13 |
2,718282 |
2,71611 |
2,813059 |
2,704075 |
2,00E+13 |
2,718282 |
2,71611 |
2,955074 |
2,903202 |
3,00E+13 |
2,718282 |
2,71611 |
2,426668 |
2,609693 |
4,00E+13 |
2,718282 |
2,728199 |
2,677869 |
2,704075 |
5,00E+13 |
2,718282 |
2,71611 |
3,4256 |
2,903202 |
6,00E+13 |
2,718282 |
2,71611 |
2,426668 |
2,903202 |
7,00E+13 |
2,718282 |
2,704075 |
2,813059 |
2,704075 |
8,00E+13 |
2,718282 |
2,704075 |
1,482913 |
1,7655 |
9,00E+13 |
2,718282 |
2,71611 |
3,780207 |
3,592962 |
1,00E+14 |
2,718282 |
2,71611 |
1,63642 |
2,035095 |
2,00E+14 |
2,718282 |
2,777094 |
1 |
1 |
Примечание: жёлтым цветом выделены значения E > , красным цветом - значения E = 1, синим цветом - значения E < 2.
График 8.
Таким образом, значения «числа» не равны общепринятому значению.
3.3. Проверка значений второго замечательного предела при помощи корней.
Выполним ещё одну проверку.
Так как второй замечательный предел: ,
то ,
, при N → ∞,
= E, соответственно, должно быть:
.
Вычислим значения E, , n√ E, n√
и значения n√ N при значениях N → ∞.
Результаты сведём в таблицу 7.
Таблица 7.
N |
E = (1 + 1 / N) ^ N |
|
n√ N |
n√ E |
n√ |
1 |
2 |
2,718281828 |
1 |
2 |
2,718281828 |
10 |
2,59374246 |
2,718281828 |
1,258925412 |
1,1 |
1,105170918 |
100 |
2,70481382 |
2,718281828 |
1,047128548 |
1,01 |
1,010050167 |
1000 |
2,716923932 |
2,718281828 |
1,006931669 |
1,00100000 |
1,00100050 |
10000 |
2,718145927 |
2,718281828 |
1,000921458 |
1,00010000 |
1,00010001 |
100000 |
2,718268237 |
2,718281828 |
1,000115136 |
1,00001000 |
1,00001000 |
1000000 |
2,718280469 |
2,718281828 |
1,000013816 |
1,00000100 |
1,00000100 |
10000000 |
2,718281694 |
2,718281828 |
1,000001612 |
1,00000010 |
1,00000010 |
100000000 |
2,718281786 |
2,718281828 |
1,000000184 |
1,00000001 |
1,00000001 |
1000000000 |
2,718282031 |
2,718281828 |
1,000000021 |
1,000000001 |
1,000000001 |
1E+10 |
2,718282053 |
2,718281828 |
1,0000000023 |
1 |
1 |
1E+11 |
2,718282053 |
2,718281828 |
1,0000000003 |
1 |
1 |
1E+12 |
2,718523496 |
2,718281828 |
1 |
1 |
1 |
1E+13 |
2,716110034 |
2,718281828 |
1 |
1 |
1 |
1E+14 |
2,716110034 |
2,718281828 |
1 |
1 |
1 |
1E+15 |
3,035035207 |
2,718281828 |
1 |
1 |
1 |
1E+16 |
1 |
2,718281828 |
1 |
1 |
1 |
1E+17 |
1 |
2,718281828 |
1 |
1 |
1 |
Примечание: жёлтым цветом выделены значения E > , синим цветом - значения n√ E, n√ N и n√
, при которых они равны 1, красным цветом – значения E = 1.
При всех N должно выполняться равенство: , однако уже при значениях N ≥ 10000000, равенство не выполняется.
Зато, при возведении n√ E в степень 1 / (n√ E -1) при N ≥ 10000000000 появляется число :
.
Таблица 8.
N |
1 / (n√ E -1) |
|
E |
(n√ E)^(N) |
(n√ E)^(1 / (n√ E -1)) |
1 |
1 |
2,718281828 |
2 |
2 |
2 |
10 |
10 |
2,718281828 |
2,59374246 |
2,59374246 |
2,59374246 |
100 |
100 |
2,718281828 |
2,704813829 |
2,704813829 |
2,704813829 |
1000 |
1000 |
2,718281828 |
2,716923932 |
2,716923932 |
2,716923932 |
10000 |
10000 |
2,718281828 |
2,718145927 |
2,718145927 |
2,718145927 |
100000 |
100000 |
2,718281828 |
2,718268237 |
2,718268237 |
2,718268237 |
1000000 |
1000000 |
2,718281828 |
2,718280469 |
2,718280469 |
2,718280469 |
10000000 |
9999999,994 |
2,718281828 |
2,718281694 |
2,718281694 |
2,718281693 |
100000000 |
100000000,6 |
2,718281828 |
2,718281786 |
2,718281786 |
2,718281815 |
1000000000 |
999999917,3 |
2,718281828 |
2,718282031 |
2,718282031 |
2,718281827 |
10000000000 |
9999999173 |
2,718281828 |
2,718282053 |
2,718282053 |
2,718281828 |
1E+11 |
99999991726 |
2,718281828 |
2,718282053 |
2,718282053 |
2,718281828 |
1E+12 |
9,99911E+11 |
2,718281828 |
2,718523496 |
2,718523496 |
2,718281828 |
1E+13 |
1,0008E+13 |
2,718281828 |
2,716110034 |
2,716110034 |
2,718281828 |
1E+14 |
1,0008E+14 |
2,718281828 |
2,716110034 |
2,716110034 |
2,718281828 |
1E+15 |
#ДЕЛ/0! |
2,718281828 |
3,035035207 |
3,035035207 |
#ДЕЛ/0! |
Примечание: жёлтым цветом выделены значения E > , зелёным цветом – значения (n√ E) (1 / (n√ E -1)) равные
, красным цветом значения 1 / (n√ E -1) не равные N.
Таким образом, члены последовательности E не равны , только при возведении их в степень
, они становятся равными
:
.
3.4. Доказательство равенства значений второго замечательного предела единице.
Для доказательства равенства значений второго предела единице воспользуемся основами тригонометрической теории чисел или волновой арифметики.
Рассмотрим спираль Феодора Киренского в прямоугольной (декартовой) системе координат.
Рисунок № 1. Спираль Феодора Киренского.
Гипотенузы прямоугольных треугольников, из которых состоит спираль, равны квадратному корню из натуральных чисел от единицы до бесконечности, один из катетов всегда равен единице, второй катет последующего треугольника всегда является гипотенузой предыдущего треугольника.
Спираль Феодора Киренского наглядно показывает существование иррациональных чисел, квадратами которых являются натуральные числа, и трансцендентных чисел- углов в треугольниках, которые можно построить, но невозможно точно вычислить.
Спираль Феодора Киренского даёт возможность создать новый раздел математики – новую теорию чисел, тригонометрическую теорию чисел или волновую арифметику на основе элементарной арифметики, элементарной алгебры, геометрии и тригонометрии.
Рисунок 2. Треугольник.
Рассмотрим какой-либо прямоугольный треугольник (рисунок № 2) из спирали Феодора Киренского.
Будем считать, что катет AB равен 1.
Катет 0A равен √N, где N – числа натурального ряда.
На основании теоремы Пифагора гипотенуза 0B равна √(N + 1).
Угол, лежащий напротив катета AB, назовём углом ν (ню).
Тогда тангенс угла ν равняется: .
Синус угла ν равняется: .
Косинус угла ν равняется: .
Если Ni – любое натуральное число, то на основании любого треугольника спирали Феодора Киренского получаются простые формулы – тригонометрические формулы чисел:
(4)
; (5)
, то есть квадрат котангенса угла νi равняется числу Ni .
И, наоборот, каждому числу Ni соответствует значение тригонометрической функции угла νi .
При N → ∞, угол ν → 0.
При N = 1, угол ν = π/4, или 45°.
При N → 0, угол ν → π/2, или 90°.
Формулу второго замечательного предела: , преобразуем согласно полученных формул:
При N = 1, ν = π/4, значение второго замечательного предела равно:
При N = ∞, ν = 0, значение второго замечательного предела равно:
, так как единица в любой степени, включая даже бесконечность, равна единице:
1∞ = 1*1*1*1*1*1*……….*1 = 1
Таким образом, предельное значение второго замечательного предела равно единице, а не числу .
4. Расчёт производных «числа» .
Классическое определение производной функции: производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
В нашем случае:
где N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, … , ∞.
ΔX = 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и так далее.
Вычислим фактические значения производных.
4.1. Фактическое значение производных для ряда .
Ранее (таблица 1) было получено, что при числе N, равном 17:
= 2,718281828459050, то есть сумма ряда действительно стремится к предельному числу и имеет предел, который и называется числом
.
Вычислять производные будем при N = 18.
ΔX будет принимать значения 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001; 0,000001 и так далее.
Вычисления представим в таблице 9.
Таблица 9.
ΔX |
Σ ряда |
|
Δ = Σ - |
|
|
|
0,1 |
3,00416602 |
2,71828183 |
0,28588420 |
2,85884195 |
1,05170918 |
0,14056013 |
0,01 |
2,74560102 |
2,71828183 |
0,02731919 |
2,73191866 |
1,00501671 |
0,01363683 |
0,001 |
2,72100147 |
2,71828183 |
0,00271964 |
2,71964142 |
1,00050017 |
0,00135959 |
0,0001 |
2,71855367 |
2,71828183 |
0,00027184 |
2,71841775 |
1,00005000 |
0,00013592 |
0,00001 |
2,71830901 |
2,71828183 |
0,00002718 |
2,71829542 |
1,00000500 |
0,00001359 |
0,000001 |
2,71828455 |
2,71828183 |
0,00000272 |
2,71828319 |
1,00000050 |
0,00000136 |
0,0000001 |
2,71828210 |
2,71828183 |
0,00000027 |
2,71828196 |
1,00000005 |
0,00000013 |
0,00000001 |
2,71828195 |
2,71828183 |
0,00000012 |
11,71828177 |
4,31091495 |
8,99999994 |
1E-09 |
2,71828184 |
2,71828183 |
0,00000001 |
11,71828190 |
4,31091500 |
9,00000007 |
1E-10 |
2,71828183 |
2,71828183 |
0,00000000 |
11,71827968 |
4,31091418 |
8,99999785 |
1E-11 |
2,71828183 |
2,71828183 |
0,00000000 |
11,71822639 |
4,31089458 |
8,99994456 |
1E-12 |
2,71828183 |
2,71828183 |
0,00000000 |
11,71818198 |
4,31087824 |
8,99990015 |
Примечание: жёлтым цветом показаны значения производных функции ()′, которые гораздо больше
.
Таким образом, при ΔX ≤ 0,00000001, производные ()′ перестают быть равными
:
()′ = 11,71828177, вместо
= 2,718281828459050,
()′/
= 4,31091495,
()′-
= 8,99999994.
4.2. Фактическое значение производных для второго замечательного предела .
где N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, … , ∞.
ΔX = 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и так далее.
Вычислим фактические значения производных.
Расчёты будем вести табличным способом.
Таблица 10.
N |
ΔE / ΔX |
ΔE / ΔX |
ΔE / ΔX |
ΔE /ΔX |
ΔE / ΔX |
ΔX = 0,1 |
ΔX = 0,01 |
ΔX = 0,001 |
ΔX = 0,0001 |
ΔX = 0,0001 |
|
1 |
0,36616559 |
0,384179427 |
0,386081788 |
0,386273093 |
0,386292234 |
2 |
0,156824369 |
0,161732014 |
0,162239867 |
0,162290829 |
0,162295927 |
3 |
0,08707761 |
0,089090977 |
0,089297466 |
0,089318167 |
0,089320238 |
4 |
0,055370689 |
0,056387515 |
0,05649126 |
0,056501656 |
0,056502695 |
5 |
0,038304702 |
0,038888417 |
0,03894777 |
0,038953715 |
0,03895431 |
6 |
0,028071216 |
0,028436864 |
0,028473954 |
0,028477668 |
0,028478039 |
7 |
0,021453687 |
0,021697729 |
0,02172244 |
0,021724914 |
0,021725161 |
8 |
0,016928591 |
0,017099516 |
0,017116798 |
0,017118528 |
0,017118701 |
9 |
0,013698135 |
0,013822473 |
0,013835031 |
0,013836288 |
0,013836414 |
10 |
0,011311575 |
0,011404834 |
0,011414245 |
0,011415186 |
0,01141528 |
20 |
0,003092532 |
0,003105836 |
0,003107172 |
0,003107306 |
0,003107319 |
30 |
0,001417506 |
0,001421631 |
0,001422045 |
0,001422087 |
0,001422089 |
40 |
0,0008099 |
0,000811681 |
0,000811859 |
0,000811877 |
0,00081188 |
50 |
0,000523251 |
0,000524176 |
0,000524268 |
0,000524278 |
0,000524279 |
60 |
0,000365672 |
0,000366213 |
0,000366267 |
0,000366272 |
0,000366272 |
70 |
0,000269876 |
0,000270219 |
0,000270253 |
0,000270257 |
0,000270259 |
80 |
0,000207329 |
0,000207559 |
0,000207582 |
0,000207585 |
0,000207587 |
90 |
0,00016425 |
0,000164413 |
0,000164429 |
0,000164431 |
0,00016443 |
100 |
0,000133325 |
0,000133444 |
0,000133456 |
0,000133458 |
0,000133459 |
200 |
3,36525E-05 |
3,36676E-05 |
3,36692E-05 |
3,367E-05 |
3,36819E-05 |
300 |
1,50047E-05 |
1,50092E-05 |
1,50097E-05 |
1,50095E-05 |
1,50076E-05 |
400 |
8,45373E-06 |
8,45562E-06 |
8,45588E-06 |
8,4559E-06 |
8,45422E-06 |
500 |
5,41561E-06 |
5,41659E-06 |
5,41685E-06 |
5,41847E-06 |
5,41918E-06 |
600 |
3,76326E-06 |
3,7638E-06 |
3,76387E-06 |
3,76225E-06 |
3,75837E-06 |
700 |
2,76611E-06 |
2,76649E-06 |
2,7667E-06 |
2,76981E-06 |
2,77263E-06 |
800 |
2,11853E-06 |
2,1188E-06 |
2,11861E-06 |
2,12049E-06 |
2,10627E-06 |
900 |
1,67435E-06 |
1,67455E-06 |
1,67471E-06 |
1,67373E-06 |
1,672E-06 |
1000 |
1,35652E-06 |
1,3567E-06 |
1,3568E-06 |
1,36291E-06 |
1,36366E-06 |
2000 |
3,39461E-07 |
3,3943E-07 |
3,39738E-07 |
3,37796E-07 |
3,24318E-07 |
3000 |
1,50912E-07 |
1,5086E-07 |
1,50088E-07 |
1,46239E-07 |
1,05027E-07 |
4000 |
8,49041E-08 |
8,48305E-08 |
8,45661E-08 |
7,16138E-08 |
1,29674E-08 |
5000 |
5,43504E-08 |
5,44087E-08 |
5,40754E-08 |
6,51879E-08 |
1,75326E-07 |
6000 |
3,77522E-08 |
3,76086E-08 |
3,69744E-08 |
3,11484E-08 |
-2,78E-08 |
7000 |
2,771E-08 |
2,76594E-08 |
2,50431E-08 |
3,61755E-08 |
1,46994E-07 |
8000 |
2,12604E-08 |
2,15711E-08 |
2,54619E-08 |
2,19647E-08 |
4,21085E-07 |
9000 |
1,6783E-08 |
1,66147E-08 |
1,8709E-08 |
3,66596E-08 |
2,15872E-07 |
10000 |
1,35698E-08 |
1,39551E-08 |
1,41087E-08 |
-4,88498E-09 |
2,87725E-07 |
20000 |
3,31586E-09 |
3,37392E-09 |
3,93552E-09 |
-3,12195E-09 |
-4,35918E-07 |
30000 |
1,50918E-09 |
9,37339E-10 |
-3,8507E-09 |
2,04281E-08 |
-4,61098E-07 |
40000 |
8,6867E-10 |
1,56728E-09 |
1,42819E-08 |
6,88516E-08 |
-1,0969E-07 |
50000 |
6,64122E-10 |
1,05476E-09 |
7,00995E-09 |
-2,40696E-08 |
-6,36602E-07 |
60000 |
2,7935E-10 |
1,77014E-10 |
-1,51967E-09 |
-3,44476E-07 |
-1,96332E-06 |
70000 |
3,34639E-10 |
6,52145E-10 |
7,5584E-09 |
-7,93143E-09 |
1,10467E-06 |
80000 |
1,59632E-10 |
7,34346E-10 |
-3,5536E-09 |
2,91527E-07 |
1,31091E-06 |
90000 |
3,52474E-11 |
-8,02958E-10 |
-9,48353E-09 |
-3,13607E-07 |
-3,35483E-06 |
100000 |
5,417E-11 |
-2,80642E-09 |
-4,37259E-08 |
-3,04512E-08 |
-3,5191E-06 |
200000 |
6,19194E-11 |
-8,16325E-10 |
-4,58744E-08 |
3,48548E-07 |
1,87841E-06 |
300000 |
-9,29878E-11 |
6,21379E-09 |
-3,17435E-09 |
-9,70601E-08 |
-1,00895E-05 |
400000 |
2,72522E-09 |
2,05583E-08 |
1,26445E-07 |
2,87532E-06 |
1,58783E-05 |
500000 |
-1,28112E-09 |
8,4007E-09 |
4,48508E-08 |
-1,94222E-07 |
9,48659E-06 |
600000 |
1,10401E-10 |
4,70233E-09 |
-1,66673E-07 |
1,01675E-06 |
5,608E-06 |
700000 |
6,74132E-10 |
-1,38041E-09 |
1,04821E-07 |
-1,00693E-07 |
6,29434E-06 |
800000 |
2,56363E-09 |
1,02327E-08 |
-5,7939E-08 |
2,64038E-06 |
-4,17679E-06 |
900000 |
5,64127E-11 |
-2,11742E-08 |
-2,33483E-07 |
-2,35658E-06 |
3,5735E-06 |
1000000 |
1,567E-09 |
-3,89342E-09 |
2,43289E-07 |
2,11154E-06 |
-3,34914E-06 |
2000000 |
-6,28731E-09 |
-1,02831E-07 |
1,81695E-08 |
2,10143E-08 |
-1,20221E-05 |
3000000 |
3,10543E-09 |
2,45352E-08 |
-6,66536E-07 |
3,28718E-06 |
2,4717E-05 |
4000000 |
7,87679E-09 |
-1,56861E-09 |
1,11114E-06 |
4,99523E-06 |
4,38362E-05 |
5000000 |
8,40266E-10 |
2,45923E-07 |
5,84226E-07 |
9,49347E-07 |
4,60054E-06 |
6000000 |
-1,35868E-08 |
1,32483E-07 |
8,68888E-07 |
4,61145E-06 |
4,20371E-05 |
7000000 |
1,00848E-09 |
-1,04802E-07 |
-3,17897E-07 |
-6,67391E-06 |
-7,0234E-05 |
8000000 |
1,5025E-08 |
4,72229E-07 |
1,66423E-06 |
1,35842E-05 |
0,000132784 |
9000000 |
-3,16037E-08 |
-3,1821E-07 |
-4,68166E-07 |
-7,39993E-06 |
-7,67176E-05 |
10000000 |
-2,84446E-08 |
-3,16581E-07 |
4,23537E-07 |
1,78892E-06 |
1,54428E-05 |
20000000 |
3,24128E-08 |
3,08061E-07 |
1,85738E-06 |
1,73506E-05 |
0,000172283 |
30000000 |
-8,41887E-08 |
1,53367E-07 |
7,18189E-07 |
6,36641E-06 |
6,28486E-05 |
40000000 |
-1,78705E-07 |
1,56558E-08 |
-4,55055E-07 |
-5,16216E-06 |
-5,22332E-05 |
50000000 |
-2,63782E-07 |
-1,09207E-07 |
-1,58136E-06 |
-1,63029E-05 |
-0,000163519 |
60000000 |
9,70494E-08 |
5,62752E-07 |
5,21978E-06 |
5,17901E-05 |
0,000517493 |
70000000 |
-4,51761E-07 |
-6,42046E-07 |
-6,76995E-06 |
-6,8049E-05 |
-0,000680839 |
80000000 |
-4,27909E-08 |
-7,33716E-07 |
-7,64296E-06 |
-7,67355E-05 |
-0,00076766 |
90000000 |
-7,19667E-08 |
-9,91495E-07 |
-1,01868E-05 |
-0,00010214 |
-0,001021668 |
100000000 |
1,46698E-07 |
1,22234E-06 |
1,19787E-05 |
0,000119543 |
0,001195183 |
200000000 |
2,01064E-07 |
1,88832E-06 |
1,87609E-05 |
0,000187486 |
0,00187474 |
300000000 |
1,1847E-07 |
1,10315E-06 |
1,09499E-05 |
0,000109418 |
0,001094095 |
400000000 |
2,28247E-07 |
2,22131E-06 |
2,21519E-05 |
0,000221458 |
0,002214518 |
500000000 |
2,03741E-07 |
1,98848E-06 |
1,98358E-05 |
0,000198309 |
0,001983045 |
600000000 |
1,36494E-07 |
1,32417E-06 |
1,32009E-05 |
0,000131968 |
0,001319641 |
700000000 |
9,16669E-08 |
8,8172E-07 |
8,78225E-06 |
8,77876E-05 |
0,000877841 |
800000000 |
2,41524E-07 |
2,38466E-06 |
2,3816E-05 |
0,00023813 |
0,002381266 |
900000000 |
2,69861E-07 |
2,67143E-06 |
2,66871E-05 |
0,000266844 |
0,002668411 |
1000000000 |
2,14689E-07 |
2,12242E-06 |
2,11998E-05 |
0,000211973 |
0,002119708 |
2000000000 |
2,20125E-07 |
2,18902E-06 |
2,1878E-05 |
0,000218768 |
0,002187663 |
3000000000 |
1,80733E-08 |
1,72578E-07 |
1,71762E-06 |
1,71681E-05 |
0,000171673 |
4000000000 |
2,22844E-07 |
2,22232E-06 |
2,22171E-05 |
0,000222165 |
0,002221641 |
5000000000 |
5,43658E-10 |
5,43654E-10 |
5,44009E-10 |
5,4623E-10 |
4,88498E-10 |
6000000000 |
4,53055E-10 |
4,5306E-10 |
4,53415E-10 |
4,52971E-10 |
4,44089E-10 |
7000000000 |
3,88329E-10 |
3,88356E-10 |
3,88578E-10 |
3,90799E-10 |
3,55271E-10 |
8000000000 |
3,39786E-10 |
3,39728E-10 |
3,39728E-10 |
3,37508E-10 |
0 |
9000000000 |
3,0203E-10 |
3,02025E-10 |
3,01537E-10 |
3,01981E-10 |
0 |
10000000000 |
2,71827E-10 |
2,71827E-10 |
2,71339E-10 |
2,70894E-10 |
0 |
20000000000 |
1,35914E-10 |
1,35936E-10 |
1,35891E-10 |
1,33227E-10 |
0 |
30000000000 |
9,06075E-11 |
9,05942E-11 |
9,05942E-11 |
8,88178E-11 |
0 |
40000000000 |
6,7959E-11 |
6,79901E-11 |
6,83897E-11 |
6,66134E-11 |
0 |
50000000000 |
5,43654E-11 |
5,43565E-11 |
5,41789E-11 |
5,32907E-11 |
0 |
60000000000 |
4,5306E-11 |
4,53415E-11 |
4,52971E-11 |
4,44089E-11 |
0 |
70000000000 |
3,88356E-11 |
3,88134E-11 |
3,95239E-11 |
4,44089E-11 |
0 |
80000000000 |
3,39773E-11 |
3,39284E-11 |
3,37508E-11 |
3,55271E-11 |
0 |
90000000000 |
3,02025E-11 |
3,01981E-11 |
3,01981E-11 |
0 |
0 |
1E+11 |
2,71827E-11 |
2,71339E-11 |
2,70894E-11 |
0 |
0 |
2E+11 |
1,35936E-11 |
1,36779E-11 |
1,42109E-11 |
0 |
0 |
3E+11 |
9,05942E-12 |
9,05942E-12 |
9,32587E-12 |
0 |
0 |
4E+11 |
6,79012E-12 |
6,79456E-12 |
6,66134E-12 |
0 |
0 |
5E+11 |
5,43121E-12 |
5,4623E-12 |
5,32907E-12 |
0 |
0 |
6E+11 |
4,53415E-12 |
4,52971E-12 |
4,88498E-12 |
0 |
0 |
7E+11 |
3,8769E-12 |
3,86358E-12 |
3,55271E-12 |
0 |
0 |
8E+11 |
3,39728E-12 |
3,41949E-12 |
0 |
0 |
0 |
9E+11 |
3,01981E-12 |
3,01981E-12 |
0 |
0 |
0 |
1E+12 |
2,71783E-12 |
2,75335E-12 |
0 |
0 |
0 |
2E+12 |
1,35891E-12 |
1,37668E-12 |
0 |
0 |
0 |
3E+12 |
9,10383E-13 |
9,32587E-13 |
0 |
0 |
0 |
4E+12 |
6,83897E-13 |
6,66134E-13 |
0 |
0 |
0 |
5E+12 |
5,41789E-13 |
5,32907E-13 |
0 |
0 |
0 |
6E+12 |
4,52971E-13 |
4,44089E-13 |
0 |
0 |
0 |
7E+12 |
3,86358E-13 |
3,9968E-13 |
0 |
0 |
0 |
8E+12 |
3,37508E-13 |
3,55271E-13 |
0 |
0 |
0 |
9E+12 |
2,9754E-13 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1E+13 |
2,70894E-13 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2E+13 |
1,37668E-13 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3E+13 |
9,32587E-14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4E+13 |
7,54952E-14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5E+13 |
5,77316E-14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6E+13 |
4,44089E-14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7E+13 |
3,9968E-14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8E+13 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9E+13 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1E+14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2E+14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3E+14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4E+14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5E+14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6E+14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7E+14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8E+14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9E+14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1E+15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2E+15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3E+15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4E+15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5E+15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6E+15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7E+15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8E+15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9E+15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1E+16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2E+16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3E+16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4E+16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5E+16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6E+16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7E+16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8E+16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9E+16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1E+17 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Таким образом, при увеличении N производная (E)’ стремится к нулю, кроме того, при уменьшении значений ΔX, нулевые значения производных (E)’ = 0 начинаются с меньших значений чисел N.
Данные таблицы 10 представлены на графике 9.
График 9.
Для большей наглядности представлен график 9 на основании данных таблицы 7 при интервале чисел N от 104 до 108.
График 10.
Вывод: таким образом, значения производной «числа» при N → ∞ приближаются к нулю, а не к числу
, что не соответствует общепринятому значению.
4.3. Доказательство общепринятого значения производной числа .
Докажем, что .
Считается, что .
Придав приращение аргументу Δx, найдём приращение функции Δy:
.
Тогда, .
Таким образом, .
Чтобы раскрыть неопределённость , сделаем подстановку:
,
Тогда:
.
Выполним вторую подстановку: , тогда
, при
, n→∞ .
, что и требовалось доказать.
Таким образом, доказано, что
, или производная функции равна самой функции.
4.4. Опровержение общепринятого значения производной числа .
1. Определим значение Δx, при котором .
Имеем: производная функции равна самой функции:
.
, или
.
Отсюда: , или
.
Прологарифмируем выражение: ,
, или
Таким образом, только при значении Δx = 0, , следовательно, только при
Δx = 0, производная .
2. Будем считать, что:
.
, или
0.
Отсюда: , или
, и
.
Прологарифмируем выражение: ,
.
Таким образом, только при значении Δx = 0, производная .
3. Будем считать, что:
, где
n – любое действительное число, кроме нуля.
, или
.
Отсюда: , или
.
Прологарифмируем выражение: ,
, или
Таким образом, только при значении Δx = 0, , следовательно, только при Δx = 0 ,производная
.
4. Будем считать, что:
, где
n – любое действительное число, кроме нуля.
, или
.
Отсюда: , или
.
Прологарифмируем выражение: ,
, или
Таким образом, только при значении Δx = 0, , следовательно, только при Δx = 0 , производная
.
Вывод: только при Δx = 0 , производная может принимать любые значения, в том числе и
, таким образом, решение не однозначно, а многозначно. При всех других значениях Δx
.
4.5. Производные ряда .
Определим производные для ряда
При x=1,
Δ =En+1 - En
Таблица 11.
N |
1 / N! |
E |
ΔE |
(E)’ |
Δ = E - (E)’ |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
|
2 |
0,5 |
2,5 |
0,5 |
2 |
0,5 |
3 |
0,166666667 |
2,666666667 |
0,166666667 |
2,5 |
0,166666667 |
4 |
0,041666667 |
2,708333333 |
0,041666667 |
2,666666667 |
0,041666667 |
5 |
0,008333333 |
2,716666667 |
0,008333333 |
2,708333333 |
0,008333333 |
6 |
0,001388889 |
2,718055556 |
0,001388889 |
2,716666667 |
0,001388889 |
7 |
0,000198413 |
2,718253968 |
0,000198413 |
2,718055556 |
0,000198413 |
8 |
2,48016E-05 |
2,71827877 |
2,48016E-05 |
2,718253968 |
2,48016E-05 |
9 |
2,75573E-06 |
2,718281526 |
2,75573E-06 |
2,71827877 |
2,75573E-06 |
10 |
2,75573E-07 |
2,718281801 |
2,75573E-07 |
2,718281526 |
2,75573E-07 |
11 |
2,50521E-08 |
2,718281826 |
2,50521E-08 |
2,718281801 |
2,50521E-08 |
12 |
2,08768E-09 |
2,718281828 |
2,08768E-09 |
2,718281826 |
2,08768E-09 |
13 |
1,6059E-10 |
2,718281828 |
1,60591E-10 |
2,718281828 |
1,60591E-10 |
14 |
1,14707E-11 |
2,718281828 |
1,14708E-11 |
2,718281828 |
1,14708E-11 |
15 |
7,64716E-13 |
2,718281828 |
7,64722E-13 |
2,718281828 |
7,64722E-13 |
16 |
4,77948E-14 |
2,718281828 |
4,79616E-14 |
2,718281828 |
4,79616E-14 |
17 |
2,81146E-15 |
2,718281828 |
0 |
2,718281828 |
0 |
18 |
1,56192E-16 |
2,718281828 |
0 |
2,718281828 |
0 |
19 |
8,22064E-18 |
2,718281828 |
0 |
2,718281828 |
0 |
20 |
4,11032E-19 |
2,718281828 |
0 |
2,718281828 |
0 |
Таким образом: ,
Соответственно, .
При значении N ≥17 (зависит от мощности компьютера) можно с достаточной степенью точности считать, E = , и
равно производной
’, что соответствует общепринятому значению производной
.
4.6. Производные второго замечательного предела: .
4.6.1. Основные понятия.
По правилу дифференцирования сложной функции найдём производную .
=
=
.
Соответственно, ,
где N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, … , ∞
и .
Таблица 12.
N |
|
E |
(E)’ |
1 |
2,718281828 |
2 |
-1 |
10 |
2,718281828 |
2,59374246 |
-0,235794769 |
100 |
2,718281828 |
2,704813829 |
-0,026780335 |
1000 |
2,718281828 |
2,716923932 |
-0,00271421 |
10000 |
2,718281828 |
2,718145927 |
-0,000271787 |
100000 |
2,718281828 |
2,718268237 |
-2,71824E-05 |
1000000 |
2,718281828 |
2,718280469 |
-2,71828E-06 |
10000000 |
2,718281828 |
2,718281694 |
-2,71828E-07 |
100000000 |
2,718281828 |
2,718281786 |
-2,71828E-08 |
1000000000 |
2,718281828 |
2,718282031 |
-2,71828E-09 |
10000000000 |
2,718281828 |
2,718282053 |
-2,71828E-10 |
1E+11 |
2,718281828 |
2,718282053 |
-2,71828E-11 |
1E+12 |
2,718281828 |
2,718523496 |
-2,71852E-12 |
1E+13 |
2,718281828 |
2,716110034 |
-2,71611E-13 |
1E+14 |
2,718281828 |
2,716110034 |
-2,71611E-14 |
1E+15 |
2,718281828 |
3,035035207 |
-3,03504E-15 |
1E+16 |
2,718281828 |
1 |
-1E-16 |
1E+17 |
2,718281828 |
1 |
-1E-17 |
Таким образом, с увеличением N производная (E)’ стремится к нулю.
Разложить в ряд функцию можно двумя способами:
1. разложение в ряд Маклорена:
;
;
.
2. по формуле бинома Ньютона (с применением коэффициентов треугольника Паскаля или биноминальных коэффицентов).
Треугольник Паскаля:
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
…………………………………………………………………………………………………
Биноминальные коэффициенты:
N |
1 |
N |
N*(N-1)/ 2! |
N*(N-1)*(N-2)/ 3! |
N*(N-1)*(N-2)*(N-3)/ 4! |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
2 |
1 |
2 |
1 |
0 |
0 |
3 |
1 |
3 |
3 |
1 |
0 |
4 |
1 |
4 |
6 |
4 |
1 |
5 |
1 |
5 |
10 |
10 |
5 |
6 |
1 |
6 |
15 |
20 |
15 |
7 |
1 |
7 |
21 |
35 |
35 |
8 |
1 |
8 |
28 |
56 |
70 |
9 |
1 |
9 |
36 |
84 |
126 |
10 |
1 |
10 |
45 |
120 |
210 |
;
;
, и так далее.
Так как члены рядов, составленного на основании бинома Ньютона равны, можно сделать предварительный вывод, что и производные будут равны.
Однако, производные, полученные на основании разложения бинома Ньютона в ряд Маклорена, будут значительно отличаться от производных, полученных на основании разложения бинома Ньютона с помощью биноминальных коэффициентов. Но так и должно быть, так как ряд Тейлора и ряд Маклорена основаны на коэффициентах, являющихся производными от биноминальных коэффициентов, при условии, что предел второго замечательного предела есть число .
4.6.2. Производные функции при разложении с помощью биноминальных коэффициентов.
- 0,592592593
Таким образом, при N = 1, ;
при N = 2, ;
при N = 3, ;
при N = n, , что соответствует общепринятой формуле производной функции по правилам дифференцирования.
Но полученные по формуле значения производной функции, не соответствуют фактическим значениям производных функции .
Фактические значения производных при N →∞ положительные и стремятся к нулю.
Полученные по формулам дифференцирования производные при N →∞ отрицательные и стремятся к нулю.
Таким образом, в любом случае производные функции второго замечательного предела не равны ни числу , ни производным числа
.
4.6.3. Общие итоги по производным функций ряда и второго замечательного предела
.
1. Производные функций ряда
.
При N ≥ 17 , с большой степенью точности можно считать, что E = ,
(E)’ = ’ =
, так как разница между функцией и её производной составляет всего:
.
Однако, при ΔX → 0, как того требует само определение производной, при ΔX ≤ 0,00000001, фактические производные ()’ перестают быть равными
:
()’ = 11,71828177, вместо
= 2,718281828459050,
()’/
= 4,31091495,
()’-
= 8,99999994.
Но это как раз и подтверждает ранее полученное решение о том, что производная может принимать любые значения.
2. Производные функций второго замечательного предела .
Но полученные по формуле: , - значения производной функции, не соответствуют фактическим значениям производных функции
.
Фактические значения производных при N → ∞ положительные и стремятся к нулю.
Полученные по формулам дифференцирования производные при N → ∞ отрицательные и стремятся к нулю.
Но в любом случае, при N → ∞, (EN)′ → 0, то есть (EN)′≠ .
5. Заключение.
Существует ли число ?
Да, число - существует.
Во-первых, как предел суммы ряда: .
Во-вторых, как предел только некоторых чисел, то есть небольшого количества их, второго замечательного предела: , если эти числа образованы от числа 2 возведением в степень, при значении 5,6295E+14 ≤ N ≤ 9,0072E+15 , EN =
= 2,718281828459050.
При значении N≥ 9,0072E+15, второй замечательный предел становится равным единице.
То есть предел второго замечательного предела при N → ∞ равен единице, а не числу .
Следовательно, ни о каком тождественном схождении указанных рядов не может быть и речи.
Общепринято и в любом курсе математического анализа доказывается, что функция x совпадает со своей производной (
x)′:
x = (
x)′.
Но решение это не однозначно, а многозначно. И фактические вычисления производных даже суммы ряда: при ΔX ≤ 0,00000001, - подтверждают не общепринятое значение:
x = (
x)′, а совершенно другое:
x ≠ (
x)′.
Значения производных, вычисленных на основе второго замечательного предела: , - при N → ∞ , стремятся к нулю: (EN)′ → 0, то есть (EN)′≠
.
Что опять подтверждает значительную разницу между рядами: и
.
Таким образом, необходима ревизия многих разделов и приложений высшей математики, особенно, основанных на числе .
Библиографическая ссылка
Колодин А.В. О «ЧИСЛЕ» e И ЕГО ПРОИЗВОДНЫХ. // Научное обозрение. Фундаментальные и прикладные исследования. – 2018. – № 2. ;URL: https://scientificreview.ru/ru/article/view?id=21 (дата обращения: 01.09.2024).